Aplicaciones de los vectores en el plano. Cálculo vectorial.

Introducción

Los vectores tienen muchas aplicaciones en física e ingeniería. Un ejemplo es la fuerzas. Un vector puede usarse para representar fuerza porque la fuerza tiene magnitud y dirección. Si dos o más fuerzas están actuando sobre un objeto, entonces la fuerza resultante sobre el objeto es la suma vectorial de los vectores que representan las fuerzas.

Problemas resueltos

Problema 1. Dos botes remolcadores están empujando un barco, como se muestra en la figura 1. Cada bote remolcador está ejerciendo una fuerza de 400 libras. ¿cuál es la fuerza resultante sobre el barco?

Solución. Se tiene el siguiente análisis gráfico

Se puede representar la fuerzas ejercidas por el primer y segundo botes remolcadores como

\bold{F}_1 = 400 (\cos{20} \bold{i} + \sin{20} \bold{j})

La fuerza resultante sobre el barco es

$\displaystyle \bold{F} = \bold{F}_1 + \bold{F}_2$

$\displaystyle \bold{F} = [400 \cos{20} \bold{i} + 400 \sin{20} \bold{j}] + [400 \cos{20} \bold{i} - 400 \sin{20} \bold{j}]$

$\displaystyle \bold{F} = 400 \cos{20} \bold{i} + 400 \sin{20} \bold{j} + 400 \cos{20} \bold{i} - 400 \sin{20} \bold{j}$

$\displaystyle \therefore \bold{F} = 800 \cos{20} \bold{i} \approx 752 \bold{i}$

Por tanto, la fuerza resultante sobre el barco es aproximadamente 752 libras en la dirección del x positivo.

Problema 2. Un avión viaja a una altitud fija con un factor de viento despreciable, y mantiene una velocidad de 500 millas por hora con un rumbo de 330°, como se muestra en la figura 3. Cuando alcanza cierto punto, el avión encuentra un viento con una velocidad de 70 millas por hora en dirección 45° NE (45° este del norte), como se muestra en la figura 4. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes del avión?

Solución. Usando la figura 3, se puede representar la velocidad del avión (solo) como

$\displaystyle \bold{v_1} = 500 \cos{120} \bold{i} + 500 \sin{45} \bold{j}$

La velocidad del viento se representa por el vector

$\displaystyle \bold{v_2} = 70 \cos{45} \bold{i} + 70 \sin{45} \bold{j}$

La velocidad resultante del avión (en el viento) es

$\bold{v} = \bold{v}_1 + \bold{v}_2$

$\bold{v} = [500 \cos{120} \bold{i} + 500 \sin{45} \bold{j}]+ [70 \cos{45} \bold{i} + 70 \sin{45} \bold{j}]$

$\bold{v} = 500 \cos{120} \bold{i} + 500 \sin{45} \bold{j}+ 70 \cos{45} \bold{i} + 70 \sin{45} \bold{j}$

$\bold{v} \approx -200.5 \bold{i} + 482.5 \bold{j}$

Para encontrar la velocidad y la dirección resultante, escribir $\bold{v} = ||\bold{v}|| (\cos{\theta} \bold{i} + \sin{\theta} \bold{j})$ . Después, se determina la magnitud de la velocidad

$\displaystyle ||\bold{v}||= \sqrt{{(-200.5)}^2 + {(482.5)}^2}$

$\displaystyle ||\bold{v}|| \approx 522.5$

Y el ángulo $\theta$ es

$\displaystyle \tan{\theta} = \frac{482.5}{-200.5}$

$\displaystyle \theta = \arctan{\left(\frac{482.5}{-200.5} \right)}$

$\displaystyle \theta = 180 - \arctan{\left(\frac{482.5}{200.5} \right)}$

$\displaystyle \theta = 112.6$

Así que

$\bold{v} = ||\bold{v}|| (\cos{\theta} \bold{i} + \sin{\theta} \bold{j})$

$\therefore \bold{v} = 522.5 (\cos{112.6} \bold{i} + \sin{112.6} \bold{j})$

La nueva velocidad del viento, alterada por el viento, es aproximadamente 522.5 millas por hora en una trayectoria que forma un ángulo de 112.6° en el eje $x$ positivo.

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Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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