Proyección. Cálculo vectorial.

Introducción

Sean $\bold{u}$ y $\bold{v}$ vectores distintos de cero. Sea $\bold{u} = \bold{w}_1 + \bold{w}_2$ , donde $\bold{w}_1$ es paralelo a $\bold{v}$ y $\bold{w}_2$ es ortogonal a $v$ , como se muestra en la figuras 1.

A $\bold{w}_1$ se le llama la proyección de $\bold{u}$ en $\bold{v}$ o la componente vectorial de $\bold{u}$ a lo largo de $\bold{v}$ , y se denota por $\displaystyle \bold{w}_1 = \text{proy}_{\bold{v}} \bold{u}$ .
A $\bold{w}_2 = \bold{u} - \bold{w}_1$ se le llama la componente vectorial de $\bold{u}$ ortogonal a $\bold{v}$ .

Figura 1. Representación gráfica de los vectores u, v, $\bold{w}_1$ y $\bold{w}_2$ .

Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por:

$\displaystyle \text{proy}_{\bold{v}} \bold{u} = \frac{\bold{u} \cdot \bold{v}}{{||\bold{v}||}^{2}}\bold{v}$

La proyección de u en v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector unitario en dirección de v. Es decir,

$\displaystyle \text{proy}_{\bold{v}} \bold{u} = \frac{\bold{u} \cdot \bold{v}}{{||\bold{v}||}^{2}}\bold{v} = \left(\frac{\bold{u} \cdot \bold{v}}{||\bold{v}||} \right) \frac{\bold{v}}{||\bold{v}||} = (k) \frac{\bold{v}}{||\bold{v}||}$

$\displaystyle k = \frac{\bold{u} \cdot \bold{v}}{||\bold{v}||} = ||\bold{u}|| \cos{\theta}$

Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular la componente vectorial de u=(5,10), dado que $\bold{w}_1 = \text{proy}_{v} \bold{u} = (8,6)$ y $\bold{u} = (5,10) = \bold{w}_1 + \bold{w}_2$ .

Solución. Como $\bold{u} = \bold{w}_1 + \bold{w}_2$ donde $\bold{w}_1$ es paralelo a $\bold{v}$ , se sigue que $\bold{w}_2$ es la componente vectorial de $\bold{u}$ ortogonal a $\bold{v}$ . Por tanto, se tiene

$\displaystyle \bold{u} = \bold{w}_1 + \bold{w}_2$

$\displaystyle \bold{w}_2 = \bold{u} - \bold{w}_1$

$\displaystyle \bold{w}_2 = (5,10) - (8,6) = (5-8, 10-6)$

$\displaystyle \therefore \bold{w}_2 = (-3, 4)$

Graficando, se observa que $\bold{w}_2$ es ortogonal a $\bold{v}$ .

Figura 2. Representación gráfica de los vectores del problema 1. *Nodo Universitario de la Universidad de Guanajuato, Introducción a la geometría analítica del espacio. [Figura]. Recuperado de:* https://oa.ugto.mx

Problema 2. Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u = 3i – 5j + 2k y v = 7i + j – 2k.

Solución. Para la proyección de u en v es:

$\displaystyle \bold{{w}_{1}} = \text{proy}_{\bold{v}} \bold{u} = \frac{\bold{u} \cdot \bold{v}}{||\bold{v}||^2} \bold{v}$

$\displaystyle \bold{{w}_{1}} = \frac{(3\bold{i} - 5\bold{j} + 2\bold{k}) \cdot (7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k})}{{(\sqrt{54})}^{2}} (7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k})$

$\displaystyle \bold{{w}_{1}} = \frac{(3,-5,2) \cdot (7,1,-2)}{54} (7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k}) = \frac{21-5-4}{54}(7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k})$

$\displaystyle \bold{{w}_{1}} = \left( \frac{12}{54} \right) \left(7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k}\right)=\left(\frac{2}{9}\right)(7\bold{i}+\bold{j}-2\bold{k}) = \frac{14}{9} \bold{i}+\frac{2}{9} \bold{j} - \frac{4}{9}\bold{k}$

Para la componente vectorial de u ortogonal a v es el vector.

$\displaystyle \bold{u} = \bold{w}_1 + \bold{w}_2$

$\bold{{w}_{2}} = \bold{u} - {\bold{w}_{1}}$

$\displaystyle \bold{{w}_{2}} = \left( 3 \bold{i} - 5 \bold{j} + 2 \bold{k} \right) - \left( \frac{14}{9} \bold{i} + \frac{2}{9} \bold{j} - \frac{4}{9} \bold{k} \right)$

$\displaystyle \therefore \bold{{w}_{2}} = \frac{13}{9} \bold{i} - \frac{47}{9} \bold{j} + \frac{22}{9} \bold{k}$

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