Análisis de nodos para circuitos con fuentes de corriente independientes (para 3 nodos). Circuitos eléctricos.

Introducción

Se considera la red de la figura 1. Hay tres nodos, y el nodo inferior se seleccionó como el de referencia. Se supone que las corrientes de rama fluyen en las direcciones indicadas en la figura. Si alguna de estas corrientes fluye en realidad en la dirección opuesta a la supuesta, el análisis producirá una corriente de rama que es negativa.

Al aplicar la LKC al nodo 1 se tiene

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{i_j} = 0$

$\displaystyle -i_A + i_1 + i_2 = 0$

Usando la ley de Ohm y observando que el nodo de referencia tiene potencial cero, se obtiene

$\displaystyle -i_A + \frac{v_1 - 0}{R_1} + \frac{v_1-v_2}{R_2} = 0$

$\displaystyle -i_A + \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_1-v_2}{R_2} = 0$

Aplicando la conductancia ( $\displaystyle \frac{1}{R} = G$ ), resulta

$\displaystyle -i_A + G_1 v_1 + G_2 (v_1 - v_2) = 0$

$\displaystyle i_A = G_1 v_1 + G_2 (v_1 - v_2)$

$\displaystyle i_A = G_1 v_1 + G_2 v_1 - G_2 v_2$

$\displaystyle (G_1 + G_2) v_1 - G_2 v_2 = i_A$

Por la LKC en el nodo 2 se obtiene

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{i_j} = 0$

$\displaystyle -i_2 + i_B + i_3 = 0$

Usando la ley de Ohm

$\displaystyle -\frac{v_1 - v_2}{R_2} + i_B + \frac{v_2 - 0}{R_3} = 0$

$\displaystyle -\frac{v_1 - v_2}{R_2} + i_B + \frac{v_2}{R_3} = 0$

Aplicando la conductancia ( $\displaystyle \frac{1}{R} = G$ ), resulta

$\displaystyle - G_2 (v_1 - v_2) + i_B + G_3 v_2 = 0$

$\displaystyle - G_2 v_1 + G_2 v_2 + i_B + G_3 v_2 = 0$

$\displaystyle i_B = G_2 v_1 - G_2 v_2 - G_3 v_2 = 0$

$\displaystyle G_2 v_1 - (G_2 + G_3) v_2 = i_B$

Entonces, las dos ecuaciones para los dos voltajes de nodo desconocidos $v_1$ y $v_2$ son

\displaystyle (G_1 + G_2) v_1 - G_2 v_2 = i_A

\displaystyle G_2 v_1 - (G_2 + G_3) v_2 = i_B

Se observa que el análisis produce dos ecuaciones simultáneas en las incógnitas $v_1$ y $v_2$ . Estas ecuaciones pueden resolverse por cualquier técnica conveniente. Para ello, se resolverá por medio de análisis matricial; este método se aplicará en el resto de los temas de circuitos eléctricos.

La forma general general de la ecuación matricial es

$\displaystyle \bold{G} \bold{V} = \bold{I}$

La solución de la ecuación matricial es

$\displaystyle \bold{V} = \bold{G}^{-1} \bold{I}$

donde la matriz inversa de $\bold{G}$ se calcula teniendo los resultados de su matriz adjunta traspuesta y de su determinante, es decir

$\displaystyle \bold{G}^{-1} = \frac{{(Adj \ \bold{G})}^T}{\text{det} \ \bold{G}}$

El determinante de la matriz $\bold{G}$ se calcula como

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = |\bold{G}|$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = \left|\begin{matrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} \right|$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = g_{11} g_{22} - g_{21} g_{12}$

La matriz adjunta de $\bold{G}$ se calcula como

$\displaystyle Adj \ \bold{G} = \left[\begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right]$

donde $C_{ij}$ es el cofactor correspondiente y se calcula utilizando la fórmula

$\displaystyle C_{ij} = {(-1)}^{i+j} \ M_{ij}$

donde $M_{ij}$ es el menor del elemento $g_{ij}$ y para encontrar el valor de cada menor, se realiza lo siguiente

\displaystyle M_{11} = \left|\begin{matrix} \bold{g_{11}} & \bold{g_{12}} \\ \bold{g_{21}} & g_{22} \end{matrix} \right| = g_{22}

\displaystyle M_{12} = \left|\begin{matrix} \bold{g_{11}} & \bold{g_{12}} \\ g_{21} & \bold{g_{22}} \end{matrix} \right| = g_{21}

Teniendo los resultados de cada menor, se puede calcular cada cofactor

\displaystyle C_{11} = {(-1)}^{1+1} M_{11} = g_{22}

\displaystyle C_{12} = {(-1)}^{1+2} M_{12} = - g_{21}

Así, ya es posible conocer el resultado de la matriz adjunta de $\bold{G}$

$\displaystyle Adj \ \bold{G} = \left[\begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} g_{22} & - g_{21} \\ - g_{12} & g_{11} \end{matrix} \right]$

Una vez calculada la matriz adjunta, puede determinarse su traspuesta.

$\displaystyle {(Adj \ \bold{G})}^T = \left[\begin{matrix} g_{22} & - g_{12} \\ - g_{21} & g_{11} \end{matrix} \right]$

Continuando, las ecuaciones de la LKC para los nodos 1 y 2 dieron lugar a dos ecuaciones simultáneas linealmente independientes

$\displaystyle - i_A + i_1 + i_2 = 0$

$\displaystyle - i_2 + i_B + i_3 = 0$

La ecuación de la LKC para el tercer nodo (el de referencia) es

$\displaystyle i_A - i_1 - i_B - i_3 = 0$

Se observa que al sumar las dos primeras ecuaciones se obtiene la tercera. Además, se pueden usar dos ecuaciones cualesquiera para deriva la ecuación resultante. Entonces, en este circuito de $N=3$ nodos sólo $N-1=2$ de las ecuaciones son linealmente independientes y necesarias para determinar los $N-1=2$ voltajes desconocidos.

Durante el análisis de nodos, se ha empleado LKC junto con la ley de Ohm. Una vez que se ha supuesto la dirección de la corrientes de rama, se usa la ley de Ohm para expresar dichas corrientes en términos de los voltajes de nodo desconocidos. Se puede suponer que las corrientes fluyen en cualquier dirección. Sin embargo, una vez que se supone una dirección particular, debe prestarse mucha atención para escribir las corrientes correctamente en términos de los voltajes de nodo usando la ley de Ohm.

Problemas resueltos

Problema 1. La red de la figura 2 tiene los siguiente parámetros: $I_A = 1 \ \text{mA}$ , $R_1 = 12 \ \text{k}\Omega$ , $R_2 = 6 \ \text{k} \Omega$ , $I_B = 4 \ \text{mA}$ y $R_3 = 6 \ \text{k} \Omega$ . Determinar todos los voltajes de nodo y las correintes de rama.

Solución. Recordando las ecuaciones obtenidas anteriormente

Recordando que $\displaystyle G = \frac{1}{R}$ , las ecuaciones tiene la siguiente expresión

\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) V_1 - \frac{1}{R_2} V_2 = I_A

\displaystyle \frac{1}{R_2} V_1 - \left(\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) V_2 = I_B

Sustituyendo

\displaystyle \frac{3}{12 \ \text{k}} V_1 - \frac{1}{6 \ \text{k}} V_2 = 1 \ \text{m}

\displaystyle \frac{1}{6 \ \text{k}} V_1 - \left(\frac{1}{6 \ \text{k}} + \frac{1}{6 \ \text{k}} \right) V_2 = 4 \ \text{m}

Continuando

\displaystyle \frac{1}{4 \ \text{k}} V_1 - \frac{1}{6 \ \text{k}} V_2 = 1 \ \text{m}

\displaystyle \frac{1}{6 \ \text{k}} V_1 - \frac{1}{3 \ \text{k}} V_2 = 4 \ \text{m}

Sin olvidar que $\text{k}=1 \times 10^3$ y $\text{m} = 1 \times 10^{-3}$ .

Entonces, la forma matricial de este sistema de ecuaciones es

$\displaystyle \bold{G} \bold{V} = \bold{I}$

$\displaystyle \left[ \begin{matrix} \frac{1}{4 \ \text{k}} & - \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ \frac{1}{6 \ \text{k}} & - \frac{1}{3 \ \text{k}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 \ \text{m} \\ 4 \ \text{m} \end{matrix} \right]$

Para poder llegar a esta expresión

$\displaystyle \bold{V} = \bold{G}^{-1} \bold{I}$

Es necesario hallar la inversa de $\bold{G}^{-1}$ . Para ello, se tiene que

$\displaystyle \bold{G} = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{4 \ \text{k}} & - \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ \frac{1}{6 \ \text{k}} & - \frac{1}{3 \ \text{k}} \end{matrix}\right]$

El determinante de la matriz $\bold{G}$ es

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = |\bold{G}|$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = \left| \begin{matrix} \frac{1}{4 \ \text{k}} & - \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ \frac{1}{6 \ \text{k}} & - \frac{1}{3 \ \text{k}} \end{matrix} \right|$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = \left(\frac{1}{4 \ \text{k}} \right) \left(- \frac{1}{3 \ \text{k}} \right) - \left(\frac{1}{6 \ \text{k}} \right) \left(- \frac{1}{6 \ \text{k}} \right)$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = - \frac{1}{12 \ \text{k}^2} - \left(-\frac{1}{36 \text{k}^2} \right) = - \frac{3}{36 \ \text{k}^2} + \frac{1}{36 \text{k}^2} = - \frac{2}{36 \ \text{k}^2}$

$\displaystyle \text{det} \ \bold{G} = - \frac{1}{18 \ \text{k}^{2}}$

Para determinar la adjunta de la matriz $\bold{G}$ , se debe determinar los menores de la misma

$\displaystyle Adj \ \bold{G} = \left[\begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right]$

\displaystyle C_{11} = {(-1)}^{1+1} \left(-\frac{1}{3 \ \text{k}} \right) = - \frac{1}{3 \ \text{k}}

\displaystyle C_{12} = {(-1)}^{1+2} \left(\frac{1}{6 \ \text{k}} \right) = - \frac{1}{6 \ \text{k}}

así que

$\displaystyle Adj \ \bold{G} = \left[\begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle Adj \ \bold{G} = \left[\begin{matrix} - \frac{1}{3 \ \text{k}} & - \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ \frac{1}{6 \ \text{k}} & \frac{1}{4 \ \text{k}} \end{matrix} \right]$

y la traspuesta de la matriz adjunta de $\bold{G}$ es

$\displaystyle {\left(Adj \ \bold{G}\right)}^T = \left[\begin{matrix} - \frac{1}{3 \ \text{k}} & \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ - \frac{1}{6 \ \text{k}} & \frac{1}{4 \ \text{k}} \end{matrix} \right]$

Entonces, la inversa de $\bold{G}^{-1}$ es

$\displaystyle \bold{G}^{-1} = \frac{{\left(Adj \ \bold{G}\right)}^T}{\text{det} \ \bold{G}} = \left(\frac{1}{\text{det} \ \bold{G}} \right) {\left(Adj \ \bold{G}\right)}^T$

$\displaystyle \bold{G}^{-1} = \left(\frac{1}{\frac{1}{- 18\text{k}^2}} \right) \left[\begin{matrix} - \frac{1}{3 \ \text{k}} & \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ - \frac{1}{6 \ \text{k}} & \frac{1}{4 \ \text{k}} \end{matrix} \right] = \left(- 18\text{k}^2 \right) \left[\begin{matrix} - \frac{1}{3 \ \text{k}} & \frac{1}{6 \ \text{k}} \\ - \frac{1}{6 \ \text{k}} & \frac{1}{4 \ \text{k}} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \bold{G}^{-1} = \left[\begin{matrix} - \frac{(-18 \ \text{k}^2)}{3 \ \text{k}} & \frac{(-18 \ \text{k}^2)}{6 \ \text{k}} \\ - \frac{(-18 \ \text{k}^2)}{6 \ \text{k}} & \frac{(-18 \ \text{k}^2)}{4 \ \text{k}} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \bold{G}^{-1} = \left[\begin{matrix} 6 \ \text{k} & - 3 \ \text{k} \\ 3 \ \text{k} & -4.5 \ \text{k} \end{matrix} \right]$

Regresando a la expresión matricial esperada

$\displaystyle \bold{V} = \bold{G}^{-1} \bold{I}$

Sustituyendo

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 6 \ \text{k} & - 3 \ \text{k} \\ 3 \ \text{k} & -4.5 \ \text{k} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 \ \text{m} \\ 4 \ \text{m} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} (6 \ \text{k})(1 \ \text{m}) + (- 3 \ \text{k})(4 \ \text{m}) \\ (3 \ \text{k})(1 \ \text{m}) + (-4.5 \ \text{k})(4 \ \text{m}) \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} (6 \times 10^{3})(1 \times 10^{-3}) + (-3 \times 10^{3})(4 \times 10^{-3}) \\ (3 \times 10^{3})(1 \times 10^{-3}) + (-4.5 \times 10^{3})(4 \times 10^{-3}) \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 6 - 12 \\ 3 - 18 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} -6 \\ - 15 \end{matrix} \right]$

Entonces, los voltajes esperados son $V_1 = -6 \ \text{V}$ y $V_2 = -15 \ \text{V}$ . Una vez determinadas los valores de los voltajes, se puede calcular las corrientes de rama utilizando la ley de Ohm. Para $I_1$

$\displaystyle V_1 = R_1 I_1$

$\displaystyle I_1 = \frac{V_1}{R_1}$

$\displaystyle I_1 = \frac{-6}{12 \ \text{k}} = \frac{-6}{12 \times 10^3} = - \frac{1}{2} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_1 = - \frac{1}{2} \ \text{mA}$

Para $I_2$

$\displaystyle I_2 = \frac{V_1 - V_2}{6 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_2 = \frac{-6 -(-15)}{6 \ \text{k}} = \frac{-6 +15}{6 \ \text{k}} = \frac{9}{6 \ \text{k}} = \frac{9}{6 \times 10^3} = \frac{3}{2} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_2 = \frac{3}{2} \ \text{mA}$

Y para $I_3$

$\displaystyle V_2 = (6 \ \text{k}) I_3$

$\displaystyle I_3 = \frac{V_2}{6 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_3 = \frac{-15}{6 \ \text{k}} = \frac{-15}{6 \times 10^3} = - \frac{5}{2} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_3 = - \frac{5}{2} \ \text{mA}$

Por lo tanto, las corrientes de rama son: $\displaystyle I_1 = - \frac{1}{2} \ \text{mA}$ , $\displaystyle I_2 = \frac{3}{2} \ \text{mA}$ e $\displaystyle I_3 = - \frac{5}{2} \ \text{mA}$ . La figura 3 muestra el resultado de todo el cálculo.

$\displaystyle M_{11} = \left\|\begin{matrix} \bold{g_{11}} & \bold{g_{12}} \\ \bold{g_{21}} & g_{22} \end{matrix} \right\| = g_{22}$	$\displaystyle M_{12} = \left\|\begin{matrix} \bold{g_{11}} & \bold{g_{12}} \\ g_{21} & \bold{g_{22}} \end{matrix} \right\| = g_{21}$
$\displaystyle M_{21} = \left\|\begin{matrix} \bold{g_{11}} & g_{12} \\ \bold{g_{21}} & \bold{g_{22}} \end{matrix} \right\| = g_{12}$	$\displaystyle M_{22} = \left\|\begin{matrix} g_{11} & \bold{g_{12}} \\ \bold{g_{21}} & \bold{g_{22}} \end{matrix} \right\| = g_{11}$

$\displaystyle C_{11} = {(-1)}^{1+1} M_{11} = g_{22}$	$\displaystyle C_{12} = {(-1)}^{1+2} M_{12} = - g_{21}$
$\displaystyle C_{21} = {(-1)}^{2+1} M_{21} = - g_{12}$	$\displaystyle C_{22} = {(-1)}^{2+2} M_{22} = g_{11}$

$\displaystyle C_{11} = {(-1)}^{1+1} \left(-\frac{1}{3 \ \text{k}} \right) = - \frac{1}{3 \ \text{k}}$	$\displaystyle C_{12} = {(-1)}^{1+2} \left(\frac{1}{6 \ \text{k}} \right) = - \frac{1}{6 \ \text{k}}$
$\displaystyle C_{21} = {(-1)}^{2+1} \left(- \frac{1}{6 \ \text{k}} \right) = \frac{1}{6 \ \text{k}}$	$\displaystyle C_{22} = {(-1)}^{2+2} \left(\frac{1}{4 \ \text{k}} \right) = \frac{1}{4 \ \text{k}}$

Análisis de nodos para circuitos con fuentes de corriente independientes (para 3 nodos). Circuitos eléctricos.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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