Cálculo de la integral definida. Cálculo integral

Introducción

Los pasos para resolver una integral definida son:

Integrar la expresión diferencial dada; resolver la integral definida como una integral indefinida.
Reemplazar la variable en esta integral indefinida, en primer lugar, por el límite superior, después por el inferior y restar el segundo resultado del primero, es decir:

$\displaystyle \int_a^b{y \, dx} = [f(x)]_a^b$

$\displaystyle \int_a^b{y \, dx} = [f(b)+C] - [f(a)+C]$

$\displaystyle \int_a^b{y \, dx} = f(b)-f(a)$

No es necesario tomar en cuenta la constante de integración, puesto que siempre desaparece en la sustracción.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \int_2^5{x^3 \, dx}$ .

Solución. Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int{x^3 \, dx}$

Esta integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Así que su resultado es

$\displaystyle \int{x^3 \, dx} = \frac{1}{3+1} x^{3+1} + C = \frac{1}{4} x^4 + C$

Reemplazando la variable por los límites, resulta

$\displaystyle \int_2^5{x^3 \, dx} = \left[\frac{1}{4} x^4 + C \right]_2^5$

$\displaystyle \int_2^5{x^3 \, dx} = \left[\frac{1}{4} (5)^4 + C \right] - \left[\frac{1}{4} (2)^4 + C \right]$

$\displaystyle \int_2^5{x^3 \, dx} = \frac{625}{4} - \frac{16}{4} = \frac{609}{4}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_2^5{x^3 \, dx} = \frac{609}{4} = 152.25$

Problema 2. Hallar $\displaystyle \int_1^e{\frac {dx}{x}}$ .

Solución. Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x}}$

Es similar a

$\displaystyle \int{\frac{dv}{v}} = \ln{v} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x}} = \ln{x} + C$

Reemplazando la variable por los límites

$\displaystyle \int_1^e{\frac{dx}{x}} = [\ln{x} + C]_1^e$

$\displaystyle \int_1^e{\frac{dx}{x}} = [\ln{e} + C] - [\ln{1} + C]$

$\displaystyle \int_1^e{\frac{dx}{x}} = \ln{e} - \ln{1} = 1 - 0 = 1$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_1^e{\frac{dx}{x}} = 1$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \int_{0}^{r}{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}$

Solución. Observando que $r$ es una constante, esto se resuelve como una integral indefinida

$\displaystyle \int{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = r \int{\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}$

Esta fórmula es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dv}{\sqrt{a^2-v^2}}} = \arcsin{(\frac{v}{a})} + C$

donde

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = r \arcsin{(\frac{x}{r})} + C$

Reemplazando la variable por los límites, resulta

$\displaystyle \int_0^r{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = \left[ r \arcsin{(\frac{x}{r})} + C\right]_0^r$

$\displaystyle \int_0^r{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = \left[r \arcsin{(\frac{r}{r})} + C \right] - \left[r \arcsin{(\frac{0}{r})} + C\right]$

$\displaystyle \int_0^r{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = r \arcsin{(1)} - r \arcsin{(0)} = r(\frac{\pi}{2}) - r(0) = \frac{r\pi}{2}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_0^r{\frac{r \ dx}{\sqrt{r^2-x^2}}} = \frac{r\pi}{2}$

Problema 4. Hallar $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\theta} \, d\theta}$ .

Solución. Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int{\cos{\theta} \, d\theta}$

Es idéntica a

$\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{\cos{\theta} \, d\theta} = \sin{\theta} + C$

Reemplazando la variable por los límites, resulta

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\theta} \, d\theta} = [\sin{\theta} + C]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\theta} \, d\theta} = [\sin{\frac{\pi}{2}} + C] - [\sin{0} + C] = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1 - 0 = 1$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\theta} \, d\theta} = 1$

Problema 5. Hallar $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^4{\theta} \, d\theta}$

Solución. Resolviendo com una integral indefinida

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta}$

Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\sec^m{u} \, du}$ , lo cual, pertenece al quinto caso de integración de potencias de la función secante o cosecante.

Factorizando el integrando

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^2{\theta} \sec^2{\theta} \, d\theta}$

Aplicando la identidad $\sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta}$ , resulta

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^2{\theta} (1 + \tan^2{\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \int{(\sec^2{\theta} + \tan^2{\theta} \sec^2{\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^2{\theta} \, d\theta} + \int{\tan^2{\theta} \sec^2{\theta} \, d\theta}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{\sec^2{v} \, dv} = \tan{v} + C$

Después

$\displaystyle \int{\sec^2{\theta} \, d\theta} = \tan{\theta} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Analizando la variable $v$

\displaystyle dv = \sec^2{\theta} \, d\theta

Entonces

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \sec^2{\theta} \, d\theta} = \int{v^2 \, dv} = \frac{1}{3} v^3 + C$

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \sec^2{\theta} \, d\theta} = \frac{1}{3} \tan^3{\theta} + C$

Regresando y sustituyendo

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^2{\theta} \, d\theta} + \int{\tan^2{\theta} \sec^2{\theta} \,d\theta}$

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = (\tan{\theta} + C) + (\frac{1}{3} \tan^3{\theta} + C)$

$\displaystyle \int{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \tan{\theta} + \frac{1}{3} \tan{\theta} + C$

Reemplazando la variable por los límites

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \left[\tan{\theta} + \frac{1}{3} \tan{\theta} + C \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \left[\tan{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{3} \tan{\frac{\pi}{4}} + C \right] - \left[\tan{0} + \frac{1}{3} \tan{0} + C \right]$

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^4{\theta} \, d\theta} = 1 + \frac{1}{3} (1) = \frac{4}{3}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_0^{\frac{\pi}{4}}{\sec^4{\theta} \, d\theta} = \frac{4}{3}$

Cálculo de la integral definida. Cálculo integral

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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