La integral definida y el origen del área bajo una curva. Cálculo integral.

Diferencial del área bajo una curva

Sea la función $\phi (x)$ y sea $y = \phi (x)$ la ecuación de la curva $AB$ .

Con base en la figura 1, sea $CD$ la ordenada fija, $EF$ la ordenada de variable y $A$ la medida del área $CEFD$ . Cuando $x$ toma un incremento pequeño $\Delta x$ , $A$ toma un incremento $\Delta A = EGJF$ .

Completando los rectángulos $EGHF$ y $EGJI$ , se observa que

$\text{area EGHF} < \text{area EGJF} < \text{area EGJI}$

es decir,

$EF(\Delta x) < \Delta A < GJ(\Delta x)$

y dividiendo entre $\Delta x$ , resulta:

$\displaystyle EF < \frac{\Delta A}{\Delta x} < GJ$

Si $\Delta x = 0$ , entonces, puesto que $EF$ queda fija y $GJ$ tiende hacia $EF$ como límite (dado que y es una función continua de $x$ ), se tiene que

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = y(=EF)$

Empleando diferenciales, resulta

$dA = y \, dx$

Teorema sobre la diferencial del área bajo una curva

La diferencial del área limitada por una curva cualquiera, el eje de las $x$ , una ordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la ordenada variable por la diferencial de la abscisa correspondiente.

La integral definida

Del teorema anterior se sigue que si la curva $AB$ es el lugar geométrico de $y = \phi (x)$ , entonces $dA = y \quad dx$ , es decir, $dA = \phi (x) \, dx$ , siendo $dA$ la diferencial del área entre la curva, el eje de las $x$ y dos ordenadas.

Integrando, se tiene que

$dA = \phi (x) \, dx$

$\displaystyle \int{dA} = \int{\phi (x) \, dx}$

$A = f(x) + C$

Para determinar el valor de la constante de integración $C$ , se hace notar que $A=0$ cuando $x=a$ . Sustituyendo estos valores en la integral obtenida, resulta:

$0=f(a)+C$

$C=-f(a)$

Por tanto, se tiene

$A = f(x) - f(a)$

Con base a la figura 2, se tiene que el área $CKLD$ , cuando $x=b$ es

$\displaystyle \text{area } CKLD = f(b) - f(a)$

Teorema sobre la integral definida

La diferencia de los valores de $\displaystyle \int{y \, dx}$ para $x=a$ y $x=b$ da el área limitada por la curva cuya ordenada es $y$ , el eje de las $x$ y las ordenadas que corresponden a $x=a$ y $x=b$ . Simbólicamente se expresa:

$\displaystyle \int_a^b{y \, dx}$

Y se lee: la integral desde $a$ hasta $b$ de $y \, dx$ .

La operación anterior se denomina integración entre límites; donde $a$ es el límite inferior y $b$ es el límite superior.

Por tanto, la expresión $\displaystyle \int_a^b{y \, dx}$ se llama integral definida.

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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