Área limitada por dos curvas. Cálculo integral.

Introducción

Considerando la región acotada por las dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las dos rectas $x=a$ y $x=b$ y suponiendo que las dos funciones son continuas en el intervalo cerrado $[a,b]$ y que $f(x) \ge g(x$ ) para toda $x$ en $[a,b]$ se tiene la siguiente gráfica (figura 1 y 2).

Al dividir el intervalo cerrado $[a,b]$ en $n$ subintervalos de la longitud $\Delta x$ cada uno, y trazando un rectángulo representativo de anchura $\Delta x$ y con altura $f(x_i ) - g(x_i )$ , donde $x_i$ está en el i-ésimo subintervalo, se tiene lo siguiente

El área del rectángulo representativo es

$\displaystyle \Delta A = [f(x_i )-g(x_i )] \Delta x$

La suma de las áreas de los $n$ rectángulos en la gráfica es

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}$

Por tanto, el área de la región comprendida ente dos curvas es

$\displaystyle \text{Area} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}}$

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \ dx}$

Si $f$ y $g$ están por encima del eje $x$ se puede interpretar el área de la región comprendida entre sus gráficas simplemente como el área bajo $f$ menos el área bajo $g$ .

Es necesario aclarar que, por lo general, para determinar el área entre dos curvas hay que aplicar, para rectángulos verticales, la siguiente fórmula (en la variable $x$ ):

$\displaystyle \text{Area} = \int_{x_1}^{x_2}{(\text{Curva superior} - \text{Curva inferior}) \ dx}$

Para rectángulos horizontales, la siguiente fórmula (en la variable $y$ ):

$\displaystyle \text{Area} = \int_{y_1}^{y_2}{(\text{Curva a la derecha} - \text{Curva a la izquierda}) \, dy}$

Aquí $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2 )$ son o bien puntos adyacentes de intersección de las curvas o puntos sobre ciertas líneas del contorno.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular el área de la región que está acotada por las dos curvas $y=x^2+2$ y $y=-x$ y las dos rectas $x=0$ y $x=1$ .

Solución. Realizando la tabulación de ambas curvas

Graficando y localizando el área a determinar

figura 4.4.12 — Figura 6. Representación gráfica de las funciones «y=x^2+2» y «y=-x».

Se tomará $f(x)=x^2+2$ y $g(x)=-x$ , para que se cumpla con la condición $f(x) \ge g(x)$ para toda $x$ en el intervalo cerrado $[0,1]$ .

Aplicando la fórmula para el área entre dos curvas

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx} = \int_0^1{[x^2+2-(-x)] \, dx}$

$\displaystyle \text{Area} = \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \int{x^2 \, dx} + 2\int{dx} + \int{x \, dx}$

$\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3} x^3 + 2x + \frac{1}{2} x^2 + C$

$\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \left[\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C\right]_0^1$

$\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \left[\frac{1}{3} (1)^3 + \frac{1}{2} (1)^2 + 2(1) \right] - \left[\frac{1}{3} (0)^3 + \frac{1}{2} (0)^2+2(0) \right]$

$\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2} + 2 = \frac{17}{6}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx}$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{17}{6} \ \text{u}^2 \approx 2.833 \ \text{u}^2$

Problema 2. Calcula el área de la región acotada por la recta $f(x)=x$ y la curva $g(x)=2-x^2$ .

Solución. Para determinar el área, es necesario conocer los límites inferior y superior, para ello, se resolverá las ecuaciones dadas por el problema por el método de igualación, con la finalidad de identificar posibles puntos de intersección, y en base a eso, tomarlos como los límites requeridos, y así, conocer el área de la región acotada.

$f(x) \ge g(x)$

$f(x)=g(x)$

$x=2-x^2$

$x^2+x-2=0$

Resolviendo esto por fórmula general

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x=1 \quad \text{y} \quad x=-2$

Por tanto, estos valores de $x$ , ayudarán a localizar los puntos de intersección. Realizando la tabulación de ambas funciones

Entonces, los puntos de intersección son $(-2,-2)$ y $(1,1)$ . Graficando las funciones y los puntos de intersección

figura 4.4.13 — Figura 6. Representación gráfica de las funciones «f(x)=x» y «g(x)=2-x^2».

Cuando f(x)≥g(x), la fórmula para calcular el área es

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx}$

Pero como g(x)≥f(x), la fórmula para calcular el área es

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[g(x)-f(x)] \, dx}$

Sustituyendo

$\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{[2-x^2-(x)] \, dx} = \int_{-2}^{1}{(2-x^2-x) \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(2-x^2-x) \, dx} = 2\int{dx} - \int{x^2 \, dx} - \int{x \, dx}$

$\displaystyle \int{(2-x^2-x) \, dx} = 2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = \left[2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C\right]_{-2}^1$

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1)^2 \right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 \right]$

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2}$

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = 6 - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx}$

$\displaystyle \text{Area} = \frac{9}{2} \ \text{u}^2 = 4.5 \ \text{u}^2$

Problema 3. Calcular el área de la región comprendida entre $x=3-y^2$ y $y=x-1$ .

Solución. La ecuación $x=3-y^2$ se mantendrá mientras que la segunda $y=x-1$ se despejará la variable $x$ , es decir, será $x=y+1$ . Luego, la condición establecida fue f(x)≥g(x) pero como la variable ahora es $y$ , por tanto, la condición se expresará como f(y)≥g(y). Por tanto, las funciones serán $f(y)=3-y^2$ y $g(y)=y+1$ . Partiendo de la nueva condición, se analizará si existen puntos de intersección.

$\displaystyle f(y) \ge g(y)$

$\displaystyle 3-y^2=y+1$

$\displaystyle -y^2-y+2=0$

$\displaystyle y^2+y-2=0$

$\displaystyle (y+2)(y-1)=0$

Los valores de $y$ son $y=-2$ y $y=1$ . Después, realizando la tabulación para las funciones $f(y)$ y $g(y)$ , resulta

Graficando las funciones

figura 4.4.16 — Figura 7. Representación gráfica de las funciones «x=3-y^2» y «y=x-1».

Observando la gráfica, los resultados de la tabulación y los valores de y calculados en base a la nueva condición, existen sólo dos puntos de intersección, que son $(-2,-1)$ y $(1,2)$ .

El área de la región acotada abarcará desde $y=-2$ hasta $y=1$ . Para este caso, el área se considera en el eje $y$ , por tanto, la fórmula a tomar es

$\displaystyle \text{Area} = \int_c^d{[f(y)-g(y)] \, dy}$

$\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{[(3-y^2 )-(y+1)] \, dy} = \int_{-2}^1{(3-y^2-y-1) \, dy}$

$\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int{(2-y^2-y) \, dy} = 2\int{dy} - \int{y^2 \, dy} - \int{y dy}$

$\displaystyle \int{(2-y^2-y) \, dy} = 2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C$

Regresando y reemplazando la variable $y$ por sus respectivos límites, resulta

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = \left[2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C\right]_{-2}^1$

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1) \right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 \right]$