Cálculo del volumen de un sólido de revolución hueco. Cálculo integral.

Introducción

Cuando una superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano, y este eje no corta la superficie, se forma un sólido de revolución hueco.

Considerando el siguiente ejemplo, el sólido se obtiene haciendo girar alrededor del eje de las $x$ es el recinto $ACBDA$ de la figura 1.

Haciendo pasar por el sólido un sistema de planos equidistantes perpendiculares al eje de revolución $OX$ , donde $\Delta x$ es la distancia entre uno y otro. Entonces el sólido se divide en placas circulares huecas de espesor $lates \Delta x$. Si uno de los planos que dividen el sólido pasa por $M$ , la placa circular hueca con una base en este plano es, aproximadamente, un cilindro circular hueca cuyos radios interior y exterior son, respectivamente, $MP_1 (=y_1 )$ y $MP_2 (y_2 )$ . Por tanto, su volumen es: $\pi (y_2^2-y_1^2 ) \, \Delta x$ . Sean $n$ cilindros huecos, $b-a = n \, \Delta x$ .

El límite de la suma de estos cilindros hueco, cuando $n \rightarrow \infty$ , es el volumen del sólido de revolución hueco. Entonces:

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$

Siendo $y_2>y_1$ .

El elemento de volumen en $\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$ es un cilindro hueco con radio interior $y_1$ , radio exterior $y_2$ y altura $\Delta x$ . Los radios $y_1$ y $y_2$ son funciones de $x (=OM)$ que se obtienen de las ecuaciones de las curvas que limitan (o la ecuación de la curva que limita) la superficie que gira.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular el volumen del sólido anular (toro o argolla) que se forma al hacer girar un círculo de radio a alrededor de un eje situado en su plano y exterior al círculo, que dista de su centro $b$ unidades, con $b>a$ .

Solución. Sea la ecuación del círculo $x^2 + (y-b)^2 = a^2$ y sea el eje $x$ el de revolución y despejando $y$ , resulta

$\displaystyle x^2+(y-b)^2=a^2$

$\displaystyle (y-b)^2=a^2-x^2$

$\displaystyle y-b=\pm \sqrt{a^2-x^2}$

$\displaystyle y = b \pm \sqrt{a^2-x^2}$

Por lo que $\displaystyle y_1 = b - \sqrt{a^2-x^2}$ y $\displaystyle y_2 = b+ \sqrt{a^2-x^2}$ . Sustituyendo en la fórmula

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_{-a}^{a}{\left[(b + \sqrt{a^2-x^2})^2 - (b- \sqrt{a^2-x^2})^2 \right] \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_{-a}^a{ \left[b^2 + 2b\sqrt{a^2-x^2} + (a^2-x^2 ) - b^2 + 2b\sqrt{a^2-x^2} - (a^2-x^2) \right] \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_{-a}^a{4b \sqrt{a^2-x^2} \, dx} = 4\pi b\int_{-a}^a{\sqrt{a^2-x^2} \, dx}$

$\displaystyle V_x = 4\pi b \left[\frac{1}{2} x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{x}{a})} \right]_{-a}^a$

$\displaystyle V_x =4\pi b \left[\frac{1}{2} (a) \sqrt{a^2-a^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{a}{a})} \right] - 4\pi b \left[\frac{1}{2} (-a) \sqrt{a^2-a^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(-\frac{a}{a})} \right]$

$\displaystyle V_x = 4\pi b \left[\frac{1}{2} a^2 (\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2} a^2 (\frac{\pi}{2}) \right]$

$\displaystyle V_x = 4\pi b (\frac{1}{2} a^2 \pi) = 2a^2 b \pi^2$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V_x = 2a^2 b \pi^2 \, u^3$

Un sólido de revolución puede dividirse en cáscaras cilíndricas haciendo pasar por él un sistema de cilindros circulares cuyo eje común es el eje de revolución. Si el área $ACBD$ de la figura 1 gira alrededor del eje y, puede obtenerse

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_a^b{(y_2-y_1 ) \, x \, dx}$

Con $OM=x$ , $MP_1=y_1$ , $MP_2=y_2$ .

El elemento de volumen es ahora una cáscara cilíndrica de radio $r$ , altura $y_2-y_1$ y espesor $\Delta x$ .

Problemas resueltos

Problema 2. Calcular el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje $x$ la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: $ay^2=x^3$ , $y=0$ y $x=a$ .

Solución. Siendo el eje $x$ el de revolución y despejando $y$ de la ecuación $ay^2=x^3$ , resulta

$\displaystyle ay^2=x^3$

$\displaystyle y^2 = \frac{x^3}{a}$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{a}}$

Donde solo se considerará a $\displaystyle y_2 = \sqrt{\frac{x^3}{a}}$ ya que $y_1=0$ (mencionado en el enunciado). Sustituyendo en la fórmula de volumen, se tiene los siguiente

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_0^a{ \left[\left(\sqrt{\frac{x^3}{a}} \right)^2 - 0^2 \right] \, dx} = \frac{\pi}{a} \int_0^a{x^3 \, dx}$

$\displaystyle V_x = \frac{\pi}{a} \left[\frac{1}{4} x^4 + C\right]_0^a = \frac{\pi}{a} \left[\frac{1}{4} a^4 \right] = \frac{\pi}{4} a^3$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V_x = \frac{\pi}{4} a^3 \ \text{u}^3$

Problema 3. Calcular el volumen del sólido que se engendra haciendo girar alrededor del eje $y$ la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: $2y^2=x^3$ , $y=0$ y $x=2$ .

Solución. Del enunciado, $y$ es el eje de revolución y despejándolo de la ecuación $2y^2=x^3$ , resulta

$\displaystyle 2y^2=x^3$

$\displaystyle y^2 = \frac{x^3}{2}$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{2}}$

Tomando solo $\displaystyle y_2 = \sqrt{\frac{x^3}{2}}$ , ya que $y_1=0$ (del enunciado, $y=0$ ), se sustituye en la fórmula siguiente

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_a^b{(y_2-y_1 )x \, dx} = 2\pi \int_0^2{\left(\sqrt{\frac{x^3}{2}}-0 \right)x \, dx}$

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_0^2{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}} \right)x \, dx} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \int_0^2{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)x \, dx}$

$\displaystyle V_y = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \int_0^2{x^{\frac{5}{2}} \, dx} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C\right]_0^2$

$\displaystyle V_y = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[\frac{2}{7} (2)^{\frac{7}{2}} \right] - \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[\frac{2}{7} (0)^{\frac{7}{2}} \right]$

$\displaystyle V_y = \frac{4\pi}{7} (2^3) = \frac{4\pi}{7} (8) = \frac{32}{7} \pi$

Finalmente

$\displaystyle\ \therefore V_y = \frac{32}{7} \pi \ \text{u}^3$

Cálculo del volumen de un sólido de revolución hueco. Cálculo integral.

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