Transferencia máxima potencia. Circuitos eléctricos.

Introducción

Al emplear el teorema de Thévenin es posible determinar la potencia máxima que puede suministrar un circuito y cómo asjutar la carga para efectuar la transferencia máxima.

Suponga que se tiene el circuito de la figura 1. La expresión siguiente indica la potencia de esta expresión que se entrega a la carga:

$\displaystyle P_{carga} = i^2 R_L = \left(\frac{v}{R+R_L} \right)^2 R_L$

$\displaystyle P_{carga} = \frac{v^2 R_L}{{(R+R_L)}^2}$

Se desea determinar el valor de $R_1$ que maximiza esta cantidad. Para ello, se deriva lo anterior con respecto a $R_L$ y luego se iguala a cero.

$\displaystyle \frac{dP_{carga}}{dR_L} = \frac{d}{dR_L} \left[\frac{v^2 R_L}{{(R+R_L)}^2} \right]$

$\displaystyle \frac{dP_{carga}}{dR_L} = \frac{(R + R_L)^2 v^2 - (v^2 R_L) \cdot 2(R+R_L)}{{(R+R_L)}^4}$

$\displaystyle 0 = \frac{(R + R_L)^2 v^2 - (v^2 R_L) \cdot 2(R+R_L)}{{(R+R_L)}^4}$

$\displaystyle R = R_L$

Esto significa que la transferencia máxima de potencia se da cuando la resistencia de carga $R = R_L$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Encuentre el valor de $R_L$ para la transferencia máxima de potencia en la red de la figura 2, así como la potencia máxima que puede entregarse a esta carga.

Solución. Primero, se obtiene el circuito equivalente de Thévenin de la red sin la carga (figura 3).

Después, el valor de $V_{oc}$ se calcula obtiene los valores de $I_1$ y $I_2$ (figura 3). Para obtener los valores de corriente de malla se utiliza el análisis de mallas (figura 4). La ecuación de la primera malla es

$\displaystyle I_1 = 2 \ \text{mA} = 2 \times 10^{-3} \text{A}$

Y la ecuación de la segunda malla, resulta

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle (3 \ \text{k})(I_2 - I_1) + (6 \ \text{k}) I_2 + 3 = 0$

$\displaystyle (3 \ \text{k}) I_2 - (3 \ \text{k}) I_1 + (6 \ \text{k}) I_2 + 3 = 0$

$\displaystyle - (3 \ \text{k}) I_1 + (9 \ \text{k}) I_2 = -3$

Resolviendo las ecuaciones, se sabe que $I_2$ es

$\displaystyle - (3 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (9 \ \text{k}) I_2 = -3$

$\displaystyle - (3 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (9 \times 10^3) I_2 = -3$

$\displaystyle - 6 + (9 \times 10^3) I_2 = -3$

$\displaystyle (9 \times 10^3) I_2 = 3$

$\displaystyle I_2 = \frac{1}{3} \ \text{mA}$

Con estos datos, el valor de $V_{oc}$ es

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0$

$\displaystyle -(4 \ \text{k})I_1 - (6 \ \text{k})I_2 + V_{oc} = 0$

$\displaystyle V_{oc} = (4 \ \text{k})I_1 + (6 \ \text{k})I_2$

$\displaystyle V_{oc} = (4 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (6 \ \text{k}) \left(\frac{1}{3} \ \text{m} \right)$

$\displaystyle V_{oc} = (4 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (6 \times 10^3) \left(\frac{1}{3} \times 10^{-3} \right) = 8 + 2$

$\displaystyle V_{oc} = 10 \ \text{V}$

El siguiente paso es calcular la resistencia Thévenin haciendo que la fuente de corriente sea un circuito abierto y que la fuente de voltaje sea un cortocircuito (figura 5).

$\displaystyle R_{\text{Th}} = 4 \ \text{k} + \frac{(3 \ \text{k})(6 \ \text{k})}{3 \ \text{k} + 6\ \text{k}}$

$\displaystyle R_{\text{Th}} = 4 \ \text{k} + 2 \ \text{k}$

$\displaystyle R_{\text{Th}} = 6 \ \text{k}$

Por lo tanto, la transferencia máxima de potencia es

$R_L = R_{\text{Th}}$

$\therefore R_L = 6 \ \text{k}$

Y la potencia máxima que se entrega a la carga es

$\displaystyle P_L = \frac{v^2 R_L}{{(R+R_L)}^2}$

$\displaystyle P_L = \frac{V_{oc}^2 R_L}{{(R+R_L)}^2}$

$\displaystyle P_L = \frac{(10)^2 (6 \ \text{k})}{{(6 \ \text{k}+6 \ \text{k})}^2}$

$\displaystyle \therefore P_L = \frac{25}{6} \ \text{mW}$

Problema 2. Encuentre el valor de $R_L$ para la transferencia máxima de potencia y la potencia máxima que puede entregarse a esta carga en el circuito de la figura 7.

Solución. Se abre el circuito a la izquierda del resistor de 4 kΩ quedando de la siguiente manera (figura 8).

En la figura 8, se tiene un supernodo alrededor de la fuente dependiente y sus nodos de conexión. Aplicando la LKC en el supernodo resulta que

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_{oc} - 2000 I'_x}{1 \ \text{k} + 3 \ \text{k}} - 4 \times 10^{-3} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_{oc} - 2000 I'_x}{4 \ \text{k}} - 4 \times 10^{-3} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_{oc}}{4 \ \text{k}} - \frac{2000 I'_x}{4 \ \text{k}} - 4 \times 10^{-3} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle V_{oc} - 2000 I'_x - 16 + 2 V_{oc} = 0$

$\displaystyle 3V_{oc} - 2000 I'_x = 16$

Y la ecuación de restricción es

$\displaystyle I'_x = \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}}$

Sustituyendo en la ecuación anterior

$\displaystyle 3V_{oc} - 2000 \left(\frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} \right) = 16$

$\displaystyle 3V_{oc} - V_{oc} = 16$

$\displaystyle 2 V_{oc} = 16$

$\displaystyle V_{oc} = 8 \ \text{V}$

Ahora, se cortocircuitarán las terminales A-B como se observa que la figura 9.

Esto provoca que el resistor de 2 kΩ sea un cortocircuito y que $I''_x = 0$ . En consecuencia la fuente dependiente será 0 V y la corriente $I_{sc}$ es de 4 mA. Este cambio se muestra en la figura 10.