Capacitores en serie. Circuitos eléctricos.

Introducción

La capacitancia equivalente de varios capacitores en serie se puede calcular por medio de la LKV con la ayuda de las figuras 1 y 2.

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0$

$\displaystyle -v(t) + v_1 (t) + v_2 (t) + v_3 (t) \cdots v_N (t) = 0$

$\displaystyle v(t) = v_1 (t) + v_2 (t) + v_3 (t) \cdots v_N (t)$

$\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t)}$

La fórmula para obtener el voltaje del capacitor es

$\displaystyle v_j (t) = v_j (t_0) + \frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}$

Sustituyendo en el desarrollo anterior, resulta

$\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{\left[v_j (t_0) + \frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx} \right]}$

$\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} + \sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}}$

$\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} + \left(\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j}} \right) \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}$

$\displaystyle v(t) = v (t_0) + \frac{1}{C_S} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}$

donde

\displaystyle v(t_0) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} = v_1 (t_0) + v_2 (t_0) + v_3 (t_0) \cdots v_N (t_0)

\displaystyle \frac{1}{C_S} = \sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \cdots + \frac{1}{C_N}

También es importante notar que, dado que fluye la misma corriente por todos los capacitores en serie, cada uno de ellos acumula la misma carga en el mismo periodo de tiempo. El voltaje en cada capacitor depende de esta carga y de la capacitancia del elemento.

Problemas resueltos

Problema 1. Determine la capacitancia equivalente, el voltaje inicial y la energía total almacenada para el circuito de la figura 3.

Solución. Se observa que estos capacitores debieron haber sido cargados antes de conectarse en serie, pues de otra forma la carga en cada uno sería la misma y los voltajes tendrían la misma dirección.

La capacitancia equivalente en serie es

$\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

$\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{1}{2 \ \mu} + \frac{1}{3 \ \mu} + \frac{1}{6 \ \mu}$

$\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{6}{6 \ \mu} = \frac{1}{1 \ \mu}$

$\displaystyle \therefore C_S = 1 \ \mu \text{F}$

Y el voltaje inicial es

$\displaystyle v(t_0) = v_1 (t_0) + v_2 (t_0) + v_3 (t_0)$

$\displaystyle v(t_0) = 2 - 4 -1$

$\displaystyle \therefore v(t_0) = -3 \ \text{V}$

La energía total almacenada es

$\displaystyle w (t_0) = w_1 (t_0) + w_2 (t_0) + w_3 (t_0)$

$\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} C_1 v^2_1 (t_0) + \frac{1}{2} C_2 v^2_2 (t_0) + \frac{1}{2} C_3 v^2_3(t_0)$

$\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left[ C_1 v^2_1 (t_0) +C_2 v^2_2 (t_0) + C_3 v^2_3 (t_0) \right]$

$\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left[ (2 \ \mu)(2)^2 + (3 \ \mu)(-4)^2 + (6 \ \mu)(-1)^2 \right]$

$\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left( 8 \ \mu + 48 \ \mu + 6 \ \mu \right) = \frac{1}{2} \left(62 \ \mu \right)$

$\displaystyle \therefore w (t_0) = 31 \ \mu \text{J}$

Sin embargo, la energía que puede recuperarse en las terminales es

$\displaystyle w_C (t_0) = \frac{1}{2} C_S v^2 (t_0)$

$\displaystyle w_C (t_0) = \frac{1}{2} (1 \ \mu) (-3)^2 = \frac{9}{2} \ \mu$

$\displaystyle \therefore w_C (t_0) = \frac{9}{2} \ \mu \text{J}$

Problema 2. Dos capacitores previamente descargados se conectan en serie y después se cargan con una fuente de 12 V. Un capacitor es de 30 μF y el otro se desconoce. Encuentre el voltaje en el capacitor desconocido si el voltaje en el capacitor de 30 μF es de 8 V.

Solución. Sea $C_1$ el capacitor de 30 μF y $V_1$ su voltaje. Su carga es

$\displaystyle Q = C_1 V_1$

$\displaystyle Q = (30 \ \mu)(8) = 240 \ \mu$

$\displaystyle Q = 240 \ \mu \text{C}$

Sea $C_2$ el capacitor desconocido y sea $V_2$ su voltaje. Luego, para determinar el voltaje $V_2$ , se realiza un despeje y sustitución utilizando la siguiente fórmula