Introducción

El amplificador operacional (amp. op.) es un dispositivo con dos terminales de entrada denominados entrada inversora (-) y entrada no inversora (+). El dispositivo se conecta además a una fuente de corriente continua (+V_{cc} y -V_{cc}). La referencia común para la entrada, la salida y la fuente de alimentación está fuera del amplificador operacional y se denomina tierra (figura 1).

Figura 1. Modelo de un amplificador operacional.

El voltaje de salida v_o depende de v_d = v_+ - v_-. Despreciando los efectos capacitivos, la función de transferencia es la indicada en la figura 2. En la zona lineal v_o = A v_d. La ganancia latex A$ en circuito abierto es generalmente muy alta. El valor de v_o se satura cuando la entrada v_d está por encima de la zona lineal.

Figura 2. Comportamiento de un amplificador operacional (zona lineal).

En la figura 3 se representa un modelo de un amplificador operacional en la zona lineal, en donde se han omitido las conexiones de la fuente de alimentación por su simplicidad. En la práctica, R_i es grande y R_o es pequeña, y A es del orden de 10^5 a algunos millones. El modelo de la figura 3 es válido cuando el voltaje de salida se encuentre dentro del intervalo V_{cc} y - V_{cc}. V_{cc} es generalmente de 5 a 18 V.

Figura 3. Modelo interno de un amplificador operacional.

Problema resuelto

Problema 1. En la figura 4 se tiene un amplificador operacional donde R_1 = 10 \ \text{k} \Omega, R_2 = 50 \ \text{k} \Omega, R_i = 500 \ \text{k} \Omega y A = 10^5. Obtener v_2/v_1. Suponer que el amplificador no está saturado.

Figura 4. Circuito del problema 1.

Solución. Para resolver esto, primero se obtendrá la expresión v_d por medio del nodo B y utilizando las LKC. Entonces, se observa que v_A = 0 y v_B = - v_d. Luego

\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{I_j} = 0

\displaystyle \frac{v_B - v_1}{R_1} + \frac{v_B}{R_i} + \frac{v_B - v_2}{R_2} = 0

\displaystyle \frac{v_B}{R_1} - \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_B}{R_i} + \frac{v_B}{R_2} - \frac{v_2}{R_2} = 0

\displaystyle \frac{-v_d}{R_1} - \frac{v_1}{R_1} + \frac{-v_d}{R_i} + \frac{-v_d}{R_2} - \frac{v_2}{R_2} = 0

\displaystyle - \frac{v_d}{R_1} - \frac{v_1}{R_1} - \frac{v_d}{R_i} - \frac{v_d}{R_2} - \frac{v_2}{R_2} = 0

\displaystyle - \frac{v_1}{R_1} - \frac{v_2}{R_2} -\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_i} \right) v_d= 0

Despejando v_d resulta

\displaystyle \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_i} \right) v_d = \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2}

\displaystyle \left(\frac{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2}{R_1 R_2 R_i} \right) v_d = \frac{R_2 v_1 + R_1 v_2}{R_1 R_2}

\displaystyle v_d = \frac{R_i(R_2 v_1 + R_1 v_2)}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2}

Sustituyendo en la ecuación v_2 = A v_d, se tiene lo siguiente

\displaystyle v_2 = A \left[\frac{R_i (R_2 v_1 + R_1 v_2)}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2} \right]

\displaystyle v_2 = \frac{AR_i(R_2 v_1 + R_1 v_2)}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2}

\displaystyle v_2 = \frac{AR_i R_2 v_1 + AR_i R_1 v_2}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2}

Desarrollando la relación v_2/v_1, resulta

\displaystyle v_2 = \frac{AR_i R_2 v_1 + A R_i R_1 v_2}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2}

\displaystyle [R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2]v_2 = A R_i R_2 v_1 + A R_i R_1 v_2

\displaystyle [R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2]v_2 - A R_i R_1 v_2 = A R_i R_2 v_1

\displaystyle [R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2 - A R_i R_1] v_2 = A R_i R_2 v_1

\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \frac{A R_i R_2}{R_i(R_1 + R_2) + R_1 R_2 - A R_i R_1}

Con los valores de cada resistor y el de la ganancia, el resultado final es

\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \frac{(1 \times 10^5) (500 \ \text{k}) (50 \ \text{k})}{(500 \ \text{k}) (10 \ \text{k} + 50 \ \text{k}) + (10 \ \text{k}) (50 \ \text{k}) - (1 \times 10^5) (500 \ \text{k}) (10 \ \text{k})}

\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \frac{(1 \times 10^5)(25000 \ \text{k}^2)}{(500 \ \text{k}) (60 \ \text{k}) + (10 \ \text{k}) (50 \ \text{k}) - (1 \times 10^5) (5000 \ \text{k}^2)}

\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \frac{2500000000 \ \text{k}^2}{30000 \ \text{k}^2 + 500 \ \text{k}^2 - 500000000 \ \text{k}^2} = -5.000305 \approx -5

\displaystyle \therefore \frac{v_2}{v_1} = -5


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