Números reales. Cálculo diferencial.

Introducción

Los números reales (denotado como $\mathbb{R}$ ) son el conjunto de números creados por el hombre para transmitir un lenguaje unificado distintas cantidades, expresadas por una serie de símbolos y 10 dígitos. La recta numérica se completa al unir los números racionales con los números irracionales, son conjuntos disjuntos y mutuamente excluyentes. Su representación conjunto es

$\displaystyle \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Los números reales estudia los sistemas numéricos más sencillos: los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales.

Números naturales

Los números naturales son los primeros números que se utilizaron para contar. Son un subconjunto de los números positivos ya que no incluyen al cero. Su símbolo es $\mathbb{N}$ y su representación conjunto es

$\displaystyle \mathbb{N} = \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9, \cdots \right\}$

Entre las propiedades de los números naturales se dice que tienen un sucesor que también es un número natural y que todos excepto el 1 tienen un antecesor que también es un número natural. Es decir,

El primer elemento de los naturales es el 1.
Si $k \in \mathbb{N}$ se define su sucesor como $k+1$ y además $k+1 \in \mathbb{N}$ .
Si $k \in \mathbb{N}$ , $k \ne 1$ , se define su antecesor como $k-1$ y además $k-1 \in \mathbb{N}$ .

En el conjunto $\mathbb{N}$ se definen dos operaciones básicas: la suma y el producto, las cuales son cerradas, conmutativas, asociativas y distributivas, además de existir el neutro de la multiplicación, sin embargo, los números naturales carecen de elementos neutros y de inversos aditivos.

Un conjunto que contiene a los números naturales y que resuelve este inconveniente es el conjunto de los números enteros.

Números enteros

Los números enteros son los números reales (se denota como $\mathbb{Z}$ ) que escritos en forma de fracción se encuentran divididos entre 1 (aunque no se escriba), y que en el resultado el numerador sigue siendo el mismo. Su conjunto se define de la siguiente manera:

$\displaystyle \mathbb{Z} = \left\{ \cdots, -2,-1,0,1,2, \cdots \right\}$

En el conjunto de los números enteros enteros también se definen las operaciones de suma y producto, que son cerradas, conmutativas, asociativas, distributivas y con elementos neutro multiplicativo. Los números enteros se dividen en:

Enteros positivos ( $\mathbb{Z}^{+}$ ). Son los números enteros que se utilizan para contar lo que se tiene, e incluyen el cero. Por ejemplo: {0,1,2,3,4,999,…}.
Enteros negativos ( $\mathbb{Z}^{'}$ ). Son los números enteros que se utilizan para contar lo que se debe o lo que falte. Por ejemplo: {-1,-2,-3,-4,…}.
Números naturales ( $\mathbb{N}$ ). Mencionado anteriormente.
Enteros pares. Son números que pueden ser enteros positivos o negativos, siempre y cuando sean múltiplos de 2 o que al ser divididos entre 2 el resultado siga siendo un entero.Por ejemplo: {2,4,6,-8,-10,-12,…}.
Enteros impares. Son aquellos número enteros que no son múltiplos de dos o que al ser divididos entre 2 el resultado es una fracción o un decimal. Por ejemplo: {1,3,-5,-7,-1,…}.
Números primos. Son todos los números enteros impares, con excepción del 2 que al dividirlo entre otro número diferente de la unidad o de sí mismo dan un resultado decimal o un entero.

Números racionales

Los números racionales (denotado como $\mathbb{Q}$ ) son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción, como $\displaystyle \frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros y que $q \ne 0$ . La representación conjunto para los números racionales es la siguiente

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \left. \frac{p}{q} \right| p,q \in \mathbb{Z}, q \ne 0 \right\}$

Algunos números racionales son

$\displaystyle \frac{3}{4}$ , $\displaystyle \frac{4}{3}$ , $\displaystyle - \frac{1}{2}$ , 0.
Cualquier número natural.
Cualquier número entero.
Toda expansión decimal finita.
Toda expansión decimal infinita y periódica.

Dentro de los números racionales se comprenden los números enteros, las fracciones y los decimales.

Fracciones comunes

Se le llama fracción a la razón formada entre dos enteros de la forma $\displaystyle \frac{a}{b}$ , $\displaystyle \frac{m}{n}$ , $\displaystyle \frac{q}{r}$ , $\displaystyle \frac{N}{D}$ , etc., donde el denominador es diferente de cero. Se pueden presentar tres casos en las fracciones.

Fracciones propias. Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador $a<b$ , $m<n$ , $N<D$ ; en otras palabras, al efectuar la división el resultado es menor que la unidad. Por ejemplo: $\displaystyle \frac{1}{2} = 0.5$ , $\displaystyle \frac{1}{3} = 0.\overline{3}$ , $\displaystyle \frac{4}{5} = 0.8$ , $\displaystyle \frac{7}{8} = 0.875$ .
Fracciones impropias. Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador y al efectuar la división el resultado es mayor que la unidad. Por ejemplo: $\displaystyle \frac{3}{2} = 1.5$ , $\displaystyle \frac{4}{3} = 1.\overline{3}$ , $\displaystyle \frac{6}{5} = 1.2$ .
Fracciones iguales. Son aquellas en las que el numerador y el denominador son iguales. Por lo que el resultado de la división corresponde a la unidad. Por ejemplo: $\displaystyle \frac{2}{2} = 1$ , $\displaystyle \frac{3}{3} = 1$ , $\displaystyle \frac{4}{4} = 1$ .

Decimales

Los números decimales son aquellas fracciones expresiones mediante el cociente de dos enteros.

Decimales exactos. Son aquellas fracciones para las que el resultado del cociente entre dos enteros es finita. Por ejemplo: $\displaystyle \frac{5}{2} = 2.5$ , $\displaystyle \frac{12}{5} = 2.4$ , $\displaystyle \frac{8}{5} = 1.6$ .
Decimales periódicos. Se denomina así a la razón entre dos enteros cuyo cociente es infinito y repetitivo. Por ejemplo: $\displaystyle \frac{1}{3} = 0.333333 \cdots$ , $\displaystyle \frac{26}{3} = 8.6666666 \cdots$ , $\displaystyle \frac{11}{7}=1.571428571428$ . En ocasiones resulta imposible todos los números decimales, por lo que recomendable colocar una tilde sobre los números que se repiten (mostrado anteriormente). Por ejemplo: $\displaystyle \frac{1}{3} = 0. \overline{3}$ , $\displaystyle \frac{26}{3} = 8. \overline{6}$ , $\displaystyle \frac{11}{7} = 1. \overline{571428}$ , $\displaystyle \frac{1}{99} = 0. \overline{01}$ .

Números irracionales

Estos números corresponden a todos aquellos que no se pueden expresar en forma de fracción. Su símbolo es $\mathbb{I}$ y algunos ejemplos son $e$ , $\pi$ , $\displaystyle \sqrt{p}$ (donde $p$ representa un número primo), $\displaystyle \sqrt{p} + \sqrt{q}$ (donde $p$ y $q$ son números primos y $a + \sqrt{p}$ (donde $a$ es un número racional y $p$ es un número primo).

Irracionales algebraicos

Corresponden a los números decimales que por su complejidad numérica no se pueden expresar en forma de fracción ya que provienen de una operación aritmética distinta a la división, como la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, etc.

Irracionales trascendentales

Son aquellos símbolos de relevancia matemática que debido a la complejidad de su significado no se pueden escribir en forma de fracción. Por ejemplo: $\pi = 3.14159265$ , $e = 2.71828182846$ , $\phi = 1.61803398$ .

Números reales. Cálculo diferencial.

Introducción

Números naturales

Números enteros