Intervalos. Cálculo diferencial.

Introducción

Un intervalo es un conjunto definido de valores que tienen orden; está acotado por un ínfimo y un supremo a los cuales se les denomina puntos extremos $a$ y $b$ del intervalo. Los puntos extremos de un intervalo cerrado están incluidos en él , en tanto que los puntos extremos de un intervalo abierto no están incluidos en él. Algunos autores denotan los puntos extremos de un intervalo abierto con puntos «huecos» y los extremos de un intervalo cerrado con puntos «rellenos». Existen tres maneras de representar intervalos:

Notación de intervalos.
Desigualdades.
Gráficamente.

Los símbolos $\infty$ , infinito positivo, y $- \infty$ , infinito negativo, no representan números reales. Simplemente son símbolos prácticos que se utilizan para describir lo ilimitado de un intervalo. Por ejemplo $(1, \infty)$ o $(-\infty, 3]$ .

En matemáticas o en la vida real un intervalo representa el conjunto de todas las posibles soluciones que puede tener una ecuación, una desigualdad o un problema.

Problemas resueltos

¿Como representar un intervalos en una desigualdad?

Problema 1. Usar la notación de desigualdades para describir cada uno de lo siguiente.

a) $c$ es como máximo 2.
b) $m$ es al menos $-3$ .
c) Toda $x$ en el intervalo $(-3,5]$

Solución.

a) El enunciado « $c$ es a lo más 2″ puede representarse con $c \le 2$ .
b) El enunciado « $m$ es al menos -3$ puede representarse con $m \ge -3$ .
c) El enunciado «Toda $x$ en el intervalo $(-3,5]$ » puede representarse con $-3 < x \le 5$ .

¿Cómo interpretar un intervalo?

Problema 2. Dar una descripción verbal de cada uno de los siguientes intervalos

a) $(-1,0)$
b) $[2, \infty)$
c) $(-\infty, 0)$

Solución.

a) Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores a $-1$ y menores que 0.
b) Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores o iguales a 2.
c) Este intervalo está formado por todos los números reales negativos.

Operaciones con intervalos

Problema 3. Determinar el conjunto de números reales definido por

a) $(-1,6] \cap [2,10)$
b) $(-1,6] \cup [2,10)$

Solución.

a) La manera de determinar su conjunto es

$(-1,6] \cap [2,10) = \left\{x|-1 < x \le 6 \right\} \cap \left\{x|2 \le x < 10 \right\}$

$(-1,6] \cap [2,10) = \left\{x|2 \le x \le 6 \right\}$

$(-1,6] \cap [2,10) = [2,6]$

b) Y para este caso

$(-1,6] \cup [2,10) = \left\{x|-1 < x \le 6 \right\} \cup \left\{x|2 \le x < 10 \right\}$

$(-1,6] \cap [2,10) = \left\{x|-1 < x < 10 \right\}$

$(-1,6] \cap [2,10) = (-1,10)$

Tipo de intervalo	Notación	Desigualdad	Grafica
Cerrado	$[a,b]$	$a \le x \le b$
Abierto	$(a,b)$	$a < x < b$
Mixto	$[a,b)$	$a \le x < b$
Mixto	$(a,b]$	$a < x \le b$

Tipo de intervalo	Notación	Desigualdad	Grafica
Infinito	$[a,\infty)$	$a \le x \le b$
Infinito	$(a,\infty)$	$a < x < b$
Infinito	$(-\infty,b]$	$a \le x < b$
Infinito	$(-\infty,b)$	$a < x \le b$
Toda la recta real	$(-\infty , \infty)$	$- \infty < x < \infty$

Intervalos. Cálculo diferencial.

Introducción

Problemas resueltos

¿Como representar un intervalos en una desigualdad?

¿Cómo interpretar un intervalo?

Operaciones con intervalos

Publicado por Cesar Reyes

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