Desigualdades cuadráticas – Primer método . Cálculo diferencial.

Introducción

Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números reales que la satisfacen. Una desigualdad o inecuación tiene infinitas soluciones en forma de intervalo o unión de intervalos de números reales.

Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales y el álgebra que de ellos se desarrolla.

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la desigualdad $x^2 - 3x + 2 > 0$ .

Solución. Primero se debe observar que todos los términos diferentes de cero estén ubicados en el lado izquierdo y el cero en el lado derecho. Después, se factoriza la desigualdad cuadrática (lado izquierdo).

$\displaystyle x^2 - 3x + 2 > 0$

$\displaystyle (x -2)(x-1) > 0$

La parte izquierda de la desigualdad se considera como el producto de dos factores, y este producto es positivo, lo cual ocurre cuando los factores son del mismo signo.

Para ello se tienen los siguientes casos:

Caso 1. Si $(x-2)(x-1) > 0$ , entonces

Analizando gráficamente estos resultados

Figura 1. Representación gráfica del caso 1 del problema 1.

El conjunto solución de estas dos desigualdades es $(1, \infty) \cap (2, \infty) = (2, \infty)$ .

Caso 2. Si $(x-2)(x-1) > 0$ , entonces

Analizando gráficamente estos resultados

Figura 2. Representación gráfica del caso 2 del problema 1.

El conjunto solución de estas dos desigualdades es $(-\infty, 1) \cap (-\infty, 2) = (-\infty, 1)$ .

Finalmente, la solución de la desigualdad se obtiene al unir las soluciones obtenidas en los casos 1 y 2. Es decir la solución es el conjunto $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ . Esto se puede representar gráficamente a continuación (figura 3).

Figura 3. Representación gráfica del resultado final del problema 1.

Problema 2. Resolver la desigualdad $x^2 - x - 6 \le 0$ .

Solución. Se deben colocar todos los términos diferentes en el lado izquierdo y el cero en el lado derecho.

Después, se factoriza la representación cuadrática (lado izquierdo)

$x^2 - x - 6 \le 0$

$(x-3)(x+2) \le 0$

Considerando la parte izquierda de la desigualdad como el producto de dos factores, este producto será menor o igual a cero, lo cual ocurre cuando los factores son de signos diferentes o cero. Para esta situación, se desarrollarán dos casos, el primero término tendrá la misma posición de signo de la desigualdad y el segundo término estará con signo invertido.

Caso 1. Si $(x-3)(x+2) \le 0$ , entonces

El conjunto solución de estas dos desigualdades es $(-\infty, 3] \cap [-2, \infty) = [-2,3]$ .

Representando esto gráficamente, se tiene lo siguiente (figura 4).

Figura 4. Representación gráfica del caso 1 del problema 2.

Caso 2. Si $(x-3)(x+2) \le 0$ , entonces

El conjunto solución de estas dos desigualdades es $(-\infty,-2] \cap [3,\infty) = \varnothing$

Representándolo gráficamente, se observa que

Figura 5. Representación gráfica del caso 2 del problema 2.

Finalmente, la solución de la desigualda se obtiene la unir las soluciones obtenidas en los casos 1 y 2. Basándose en la figura 4, la solución es el conjunto $x \in [-2,3] \cup \varnothing = [-2,3]$ .

$(x-2) > 0$	$(x-1) > 0$
$x > 2$	$x > 1$

$(x-2) < 0$	$(x-1) < 0$
$x < 2$	$x < 1$

$(x-3) \le 0$	$(x+2) \ge 0$
$x \le 3$	$x \ge -2$

$(x-3) \ge 0$	$(x+2) \le 0$
$x \ge 3$	$x \le -2$

Desigualdades cuadráticas – Primer método . Cálculo diferencial.

Introducción

Problemas resueltos.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Desigualdades cuadráticas – Primer método . Cálculo diferencial.

Introducción

Problemas resueltos.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta