Desigualdades de valor absoluto. Cálculo diferencial.

Introducción

Las desigualdades de valor absoluto se resuelven similarmente como una ecuación en valor absoluto. Se presentan dos casos para resolver ecuaciones de este tipo: el primer método consiste en mantener los símbolos de la desigualdad durante el desarrollo de la solución (siempre y cuando sea el símbolo $<$ o $\le$ ) mientras que el segundo método es separar las ecuaciones, uno positivo y uno negativo y que el caso negativo se invierte el sentido o símbolo de la desigualdad (donde los símbolos sean $>$ y $\ge$ ).

Propiedades del valor absoluto en las desigualdades

$|x| < a$ si y solo si $-a<x<a$ .
$|x| > a$ si y solo si $x < -a$ o $x>a$
Desigualdad del triángulo: $|x+y| \le |x| + |y|$
$x \le |x|$ y $-x \le |x|$
Si $y \ge 0$ , entonces $|x| = y$ si y solo si $\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x = y & \text{si} & x \ge 0 \\ -x = y & \text{si} & x<0 \end{matrix} \right.$

Teorema de desigualdades de valor absoluto

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la desigualdad $|2x-8|<16$ .

Solución. Aplicando el teorema 1 (propiedades del valor absoluto), se tiene que

$\displaystyle |2x-8| < 16$

$\displaystyle -16 < 2x-8 < 16$

Después

$\displaystyle -16 + 8< 2x< 16 + 8$

$\displaystyle -8< 2x< 24$

$\displaystyle - \frac{8}{2}< \frac{2}{2} x< \frac{24}{2}$

$\displaystyle - 4 < x< 12$

Que al expresarlo en forma de intervalo, el resultado esperado es

$\displaystyle (- \infty , -4) \cap (12, \infty)$

O mejor dicho

$\displaystyle (-4, 12)$ o tambien $\displaystyle x \in (-4, 12)$

Problema 2. Resolver la desigualdad $\displaystyle |-3x + 3| \le 18$ .

Solución. Se aplica el la primera propiedad del valor absoluto quedando de la siguiente manera

$\displaystyle |-3x + 3| \le 18$

$\displaystyle -18 \le -3x + 3 \le 18$

Después, dejando los términos de $x$

$\displaystyle -18 - 3 \le -3x \le 18 - 3$

$\displaystyle -21 \le -3x \le 15$

Al momento de despejar $x$ , el coeficiente tiene un signo negativo por lo que ambos símbolos de la desigualdad cambian de sentido, es decir, de $\le$ se cambia a $\ge$ .

$\displaystyle \frac{-21}{-3} \ge x \ge \frac{15}{-3}$

$\displaystyle 7 \ge x \ge -5$

Reordenando lo anterior

$\displaystyle -5 \le x \le 7$

Al expresarlo en forma de intervalo, el resultado esperado es

$\displaystyle (-\infty, -5] \cap [7, \infty)$

O mejor dicho,

$\displaystyle [-5, 7]$ o también $\displaystyle x \in [-5,7]$

Problema 3. Resolver la desigualdad $\displaystyle \left|\frac{3}{7} x - 2 \right| < 15$ .

Solución. Se aplica el la primera propiedad del valor absoluto quedando de la siguiente manera

$\displaystyle \left|\frac{3}{7} x - 2 \right| < 15$

$\displaystyle -15 < \frac{3}{7} x - 2 < 15$

$\displaystyle -15 + 2 < \frac{3}{7} x < 15 + 2$

$\displaystyle -13 < \frac{3}{7} x < 17$

Despejando $x$

$\displaystyle (-13) \left(\frac{7}{3} \right) < \left(\frac{3}{7} \right) \left(\frac{7}{3} \right) x < (17) \left(\frac{7}{3} \right)$

$\displaystyle - \frac{91}{3} < x < \frac{119}{3}$

Finalmente, expresándolo en forma de intervalo, el resultado esperado es

$\displaystyle \left(-\infty , - \frac{91}{3} \right) \cap \left(\frac{119}{3}, \infty \right)$

O mejor dicho

$\displaystyle \left(- \frac{91}{3} , \frac{119}{3} \right)$ o también $\displaystyle x \in \left(- \frac{91}{3} , \frac{119}{3} \right)$

Problema 4. Resolver la desigualdad $\displaystyle |2x + 10| > 4$ .

Solución. Para este caso, se resuelve empezando por utilizar la segunda propiedad del valor absoluto.

$\displaystyle |2x + 10| > 4$

Continuando

$\displaystyle 2x + 10 < - 4$

$\displaystyle 2x < - 4 - 10$

$\displaystyle 2x < - 14$

$\displaystyle x < \frac{-14}{2}$

$\displaystyle x < -7$

$\displaystyle 2x +10 > 4$

$\displaystyle 2x > 4 - 10$

$\displaystyle 2x > - 6$

$\displaystyle x > \frac{-6}{2}$

$\displaystyle x > -3$

Así que, expresándolo en forma de intervalo, el resultado final es

$\displaystyle (- \infty, -7) \cup (-3, \infty)$ o también $\displaystyle x \in (- \infty, -7) \cup (-3, \infty)$

Problema 5. Resolver la desigualdad $\displaystyle |-2x + 15| \ge 5$ .

Solución. Utilizando la segunda propiedad del valor absoluto, se tiene lo siguiente

$\displaystyle |-2x + 15| \ge 5$

Continuando

$\displaystyle -2x + 15 \le -5$

$\displaystyle - 2x \le - 5 - 15$

$\displaystyle -2x \le -20$

$\displaystyle - 2x +15 \ge 5$

$\displaystyle -2x \ge 5 - 15$

$\displaystyle -2x \ge -10$

Al despejar $x$ , se invierte el símbolo de la desigualdad en ambas ecuaciones

$\displaystyle \frac{-2x}{-2} \ge \frac{-20}{-2}$

$\displaystyle x \ge 10$

$\displaystyle \frac{-2x}{-2} \le \frac{- 10}{-2}$

$\displaystyle x \le 5$

Así que, expresándolo en forma de intervalo, el resultado final es

$\displaystyle (- \infty, 5) \cup (10, \infty)$ o también $\displaystyle x \in (- \infty, 5) \cup (10, \infty)$

Problema 6. Resolver la desigualdad $\displaystyle |4x + 5| \ge x + 11$ .

Solución. Utilizando la segunda propiedad del valor absoluto, se tiene lo siguiente

$\displaystyle |4x + 5| \ge x + 11$

Continuando

$\displaystyle 4x + 5 \le -x - 11$

$\displaystyle 4x + x \le -11 - 5$

$\displaystyle 5x \le -16$

$\displaystyle \frac{5x}{5} \le \frac{-16}{5}$

$\displaystyle x \le - \frac{16}{5}$

$\displaystyle 4x +5 \ge x + 11$

$\displaystyle 4x - x \ge 11 - 5$

$\displaystyle 3x \ge 6$

$\displaystyle \frac{3x}{3} \ge \frac{6}{3}$

$\displaystyle x \ge 2$

Así que, expresándolo en forma de intervalo, el resultado final es

$\displaystyle \left(- \infty, -\frac{16}{5} \right] \cup [2, \infty)$ o también $\displaystyle x \in \left(- \infty, - \frac{16}{5} \right] \cup [2, \infty)$

Desigualdad	Intervalo solución
$>$	$(-\infty, a) \cup (b, \infty)$
$<$	$(-\infty, a) \cap (b, \infty)$ o también $(a,b)$
$\ge$	$(-\infty, a] \cup [b, \infty)$
$\le$	$(-\infty, a] \cap [b, \infty)$ o también $[a,b]$

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Problemas resueltos

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