Dominio y rango. Cálculo diferencial

Introducción

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente $x$ mientras que el rango (o también llamado imagen) es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $f(x)$ , una vez, asignados los valores a la variable independiente.

¿Cómo encontrar el dominio y el rango de cualquier función?

Identificar el nombre o tipo de función.
Reconocer las restricciones algebraicas de la función.
- Si existen raíces pares, el contenido del radicando debe ser mayor que o igual a cero.
- Si existen divisiones, el denominador debe ser diferente de cero.
- Los logaritmos deben ser mayores a cero.
Si es una función compuesta, analizar sus componentes individuales y combinar los posibles dominios.
Si la función representa un modelo matemático, incluye las limitaciones físicas del problema.
Una vez determinado el dominio, se procede a obtener el rango.
El rango o la imagen de una función está dada por el valor mayor y el valor menor del dominio, excepto para aquellos en los cuales del dominio es simétrico; para tales casos se puede usar el valor menor o mayor y la mitad del dominio.

Problemas resueltos

Problema 1. Determinar el dominio para las siguientes funciones

$\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}$

Solución. Como $y$ debe ser real, al hacer mayor que o igual que se tiene que

$4-x^2 \ge 0$

$x^2 \le 4$

Entonces, el intervalo solución sería $(-\infty, -4] \cap [4, \infty)$ o mejor dicho $[-2,2]$ . Por tanto, el dominio de $y$ es $[-2,2]$ .

$\displaystyle y=\sqrt{x^2-16}$

Solución. Como $y$ debe ser real, la expresión dentro de la raíz cuadrada puede ser igual o mayor a cero.

$x^2 -16 \ge 0$

$x^2 \ge 16$

Con esto, se tienen dos valores de $x$ . Por tanto, el intervalo solución es $(-\infty,-4] \cup [4, \infty)$ . Por lo que el dominio de $y$ es $(-\infty,-4] \cup [4, \infty)$ .

$\displaystyle y=\frac{1}{x-2}$

Solución. Igualando a cero el denominador

$\displaystyle x-2 = 0$

$\displaystyle x = 2$

Entonces, la función está definida para todo $x$ excepto $x=2$ . Por tanto, el dominio de $y$ es $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ o mejor dicho $\left\{x | x \ne 2 \right\}$ .

$\displaystyle y=\frac{1}{x^2-9}$

Solución. Igualando a cero la ecuación del denominador

$x^2-9 = 0$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

Como la función está definida para $x \ne \pm 3$ , el dominio para $y$ es $(-\infty, -3) \cup (-3,3) \cup (3, \infty)$ . Esto también se puede expresar como una notación de construcción de conjuntos, por lo que sería $\left\{x | x \ne -3 \ \text{y} \ x \ne 3 \right\}$ .

$\displaystyle y=\frac{x}{x^2+4}$

Solución. Como $x^2 +4 \ne 0$ para todo $x$ , el dominio de $y$ es $\mathbb{R}$ , es decir, es el conjunto de todos los números reales.

Problema 2. Hallar los dominios y rangos para las siguientes funciones.

$\displaystyle f(x)=-x^2 + 1$

Solución. El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$ o también $(-\infty, \infty)$ si se expresa en notación de intervalos mientras que el rango de $f$ es $(-\infty, 1]$ .

$\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{matrix} x-1 & \text{si} \ 0<x<1 \\ 2x & \text{si} \ 1 \le x \end{matrix} \right.$

Solución. Para este caso no son dos funciones, sino una sola función que presenta una regla de correspondencia en dos partes, en donde el dominio para la primera parte es $(0,1)$ mientras que la segunda es $[1, \infty)$ ; el dominio de $f$ es la unión de los intervalos $(0,1) \cup [1, \infty)$ que esto es equivalente a $(0, \infty)$ . Para el rango de $f$ estaría conformado por $(-1,0)$ o $[2,\infty)$ .

$\displaystyle f(x)= [x] =$ el mayor entero menor o igual que $x$ .

Solución. El dominio de $f$ es es $\mathbb{R}$ (números reales) y el rango es $\mathbb{Z}$ (números enteros).

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2+4}{x-2}$

Solución. El dominio de $f$ es $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ o mejor dicho $\left\{x | x \ne 2 \right\}$ y el rango de $f$ es $f(x) \ne 4$ .

$\displaystyle f(x)=5-x^2$

Solución. El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$ (todos los números) y el rango de $f$ es $(-\infty, 5]$ .

$\displaystyle f(x)=-4 \sqrt{x}$

Solución. El dominio de $f$ es $[0,\infty)$ y el rango de $f$ es $(-\infty, 0]$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{|x|}{x}$

Solución. El dominio de $f$ es $\left\{x | x \ne 0 \right\}$ y el rango de $f$ es $\left\{-1,1 \right\}$ .

$\displaystyle f(x)=x-|x|$

Solución. El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$ (todos los números) y el rango de $f$ es $(-\infty, 0]$ .

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{matrix} x & \text{si} \ x\ge 0 \\ 2 & \text{si} \ x<0 \end{matrix} \right.$

Solución. El dominio de la primera expresión es $[0,\infty)$ mientras que la segunda es $(-\infty,0)$ . Por tanto, el dominio de $f$ es $(-\infty,0) \cup [0, \infty)$ o mejor dicho, $(-\infty, \infty)$ . Para el rango de $f$ , la primera expresión sería $[0,\infty)$ mientras que su segunda es $2$ , por lo que al unir ambos resultados, el final esperado es $[0,\infty)$ .

Problema 3. Dibujar el gráfico de la función definida por:

Y determinar el dominio y el recorrido de la función dada.

Solución. El gráfico es el siguiente

El dominio son todos los números reales positivos y el recorrido es el conjunto de enteros, 5, 10, 15, 20, …

Problema 4. Expresar la longitud $l$ de una cuerda de un círculo de radio 8 como función de su distancia $x$ (en pulgadas) al centro del círculo. Determinar el dominio de la función.