Teorema de Parseval. Fourier.

El teorema de Parseval afirma que si $a_0$ , $a_n$ y $b_n$ para $n=1, 2, 3, \cdots$ son los coeficientes en la expansión de Fourier de una función periódica $f(t)$ con período $T$ , entonces

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n^2 + b_n^2)}$

Para demostrar este teorema, se parte con la aproximación del error cuadrático medio $E_k$ de $f(t)$ por $S_k (t)$

$\displaystyle E_k (t) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} - \frac{1}{4} a_0^2 - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^k{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)}$ y $\displaystyle E_k(t) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)-S_k (t)]^2 \, dt} \ge 0$

$\displaystyle E_{k+1} = E_k - \frac{1}{2} (a_{k+1}^2 + b_{k+1}^2)$

Las desigualdades $\displaystyle E_k (t) \ge 0$ y $\displaystyle E_{k+1} = E_k - \frac{1}{2} (a_{k+1}^2 + b_{k+1}^2)$ presenta una sucesión en donde $|E_k|$ solo tiene términos no negativos y no es creciente, por lo que, la sucesión converge. Recordando la ecuación de $\varepsilon_k (t)$

$\varepsilon_k (t) = f(t) - S_k (t)$

Tomando el límite cuando $k \rightarrow \infty$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{\varepsilon_k (t)} = \lim_{k \rightarrow \infty}{f(t)} - \lim_{k \rightarrow \infty}{S_k (t)}$

Ahora, recordando la desigualdad $\displaystyle E_k (t) \ge 0$ , se hará que $E_k (t) = 0$ . Entonces, tomando el límite en ambos miembros cuando $k \rightarrow \infty$ , se brinda lo siguiente

$E_k (t) = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{E_k (t)} = \lim_{k \rightarrow \infty}{0}$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{E_k (t)} = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)-S_k (t)]^2 \, dt}} = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{ \left\{ [f(t)]^2 - 2 f(t) S_k (t) + [S_k (t)]^2 \right\} \, dt}} = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} - \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) S_k (t) \, dt} + \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[S_k (t)]^2 \, dt} \right\}} = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} \right\}} - \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) S_k (t) \, dt}\right\}} + \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[S_k (t)]^2 \, dt} \right\}} = 0$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} \right\}} = \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) S_k (t) \, dt}\right\}} - \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[S_k (t)]^2 \, dt} \right\}}$

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} \right\}} = \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{2} a_0^2 + \sum_{n=1}^{k}{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)} \right\}} - \lim_{k \rightarrow \infty}{ \left\{ \frac{1}{4} a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{k}{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)} \right\}}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} = \frac{1}{2} a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)} - \frac{1}{4} a_0^2 - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)}$

Y el teorema de Parseval queda demostrado.

Teorema de Parseval. Fourier.

Publicado por Cesar Reyes

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