Vector tangente. Cálculo vectorial.

Introducción

Sea $C$ una curva suave en un intervalo abierto $I$ representada por $\mathbf{r}$ . El vector unitario tangente $\mathbf{T} (t)$ en $t$ se define como

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|| \mathbf{r}' (t)||}$

donde $\mathbf{r}'(t) \ne 0$ . Por tanto, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva tenga un vector unitario tangente.

Problemas resueltos

Problema 1. Encuentra el vector unitario tangente a la curva dada por $\mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j}$ cuando $t=1$ .

Solución. De la función dada, se determina su primera derivada

$\mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left(t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} \right)$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t)] = \frac{d}{dt} \left(t \right) \mathbf{i} + \frac{d}{dt} \left(t^2 \right) \mathbf{j}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t)] = (1) \mathbf{i} + (2t) \mathbf{j}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t)] = \mathbf{i} + 2t \mathbf{j}$

Del último resultado obtenido, se calcula su magnitud

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)]|| = ||\mathbf{i} + 2t \mathbf{j}||$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)]|| = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2t)}^{2}}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)]|| = \sqrt{1 + 4t^2}$

Para obtener el vector unitario tangente, se utiliza su fórmula

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|| \mathbf{r}' (t)||}$

Sustituyendo

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{\mathbf{i} + 2t \mathbf{j}}{\sqrt{1 + 4t^2}}$

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4t^2}} (\mathbf{i} + 2t \mathbf{j})$

Cuando $t=1$ , el vector unitario tangente es

$\displaystyle \mathbf{T} (1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4{(1)}^2}} (\mathbf{i} + 2(1) \mathbf{j})$

$\displaystyle \mathbf{T} (1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4(1)}} (\mathbf{i} + 2 \mathbf{j})$

$\displaystyle \mathbf{T} (1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4}} (\mathbf{i} + 2 \mathbf{j})$

$\displaystyle \mathbf{T} (1) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\mathbf{i} + 2 \mathbf{j})$

Figura 1. Representación gráfica del problema 1 y su vector unitario tangente.

Problema 2. Encontrar $\mathbf{T} (t)$ y hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la hélice dada por

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = 2\cos{t} \mathbf{i} + 2 \sin{t} \mathbf{j} + t \mathbf{k}$

en el punto $\displaystyle \left( \sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right)$ .

Solución. De la función dada por el problema, se determina su primera derivada

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = 2\cos{t} \mathbf{i} + 2 \sin{t} \mathbf{j} + t \mathbf{k}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left(2 \cos{t} \mathbf{i} + 2 \sin{t} \mathbf{j} + t \mathbf{k} \right)$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = \frac{d}{dt} (2 \cos{t}) \mathbf{i} + \frac{d}{dt} (2 \sin{t}) \mathbf{j} + \frac{d}{dt} (t) \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = 2 \frac{d}{dt} (\cos{t}) \mathbf{i} + 2 \frac{d}{dt} (\sin{t}) \mathbf{j} + \frac{d}{dt} (t) \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = - 2 (\sin{t}) \mathbf{i} + 2 (\cos{t}) \mathbf{j} + (1) \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = - 2 \sin{t} \mathbf{i} + 2 \cos{t} \mathbf{j} + \mathbf{k}$

Calculando su magitud

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||- 2 \sin{t} \mathbf{i} + 2 \cos{t} \mathbf{j} + \mathbf{k}||$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(- 2 \sin{t})}^2 + {(2 \cos{t})}^2 + {(1)}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 \sin^2{t} + 4 \cos^2{t} + 1}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 (\sin^2{t} + \cos^2{t}) + 1}$

Recordando que $\sin^2{t} + \cos^2{t} = 1$ , resulta

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 (1) + 1}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 + 1}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{5}$

Tomando la fórmula del vector unitario tangente, se tiene que

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|| \mathbf{r}' (t)||}$

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{- 2 \sin{t} \mathbf{i} + 2 \cos{t} \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{5}}$

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(- 2 \sin{t} \mathbf{i} + 2 \cos{t} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right)$

¿Qué valor de $t$ se puede tomar para determinar el valor del vector unitario tangente? Realizando una igualación en cada una de las ecuaciones paramétricas en el punto en el punto $\displaystyle \left( \sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right)$ , se observa que

$\displaystyle 2\cos{t} = \sqrt{2}$

$\displaystyle \cos{t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle t = \arccos{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$

$\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$

$\displaystyle 2\sin{t} = \sqrt{2}$

$\displaystyle \sin{t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle t = \arcsin{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$

$\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$

Tomando el valor de $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$ , el vector unitario tangente es

$\displaystyle \mathbf{T} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(- 2 \sin{\frac{\pi}{4}} \mathbf{i} + 2 \cos{\frac{\pi}{4}} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right)$

$\displaystyle \mathbf{T} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[- 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \mathbf{i} + 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \mathbf{j} + \mathbf{k} \right]$

$\displaystyle \mathbf{T} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(- \sqrt{2} \mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right)$

Usando los directores $\displaystyle a = -\sqrt{2}$ , $\displaystyle b = \sqrt{2}$ y $c=1$ , y el punto $\displaystyle \left( \sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right)$ , las ecuaciones paramétricas siguientes (utilizando el parámetro $s$ ) son

$x = x_1 + as$

$\displaystyle x = \sqrt{2} - \sqrt{2} s$

$y = y_1 + bs$

$\displaystyle y = \sqrt{2} + \sqrt{2} s$

$z = z_1 + cs$

$\displaystyle z = \frac{\pi}{4} + s$

Se concluye que el vector unitario tangente es $\displaystyle \mathbf{T} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(- \sqrt{2} \mathbf{i} + \sqrt{2} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right)$ y el conjunto de ecuaciones paramétricas son $\displaystyle x = \sqrt{2} - \sqrt{2} s$ , $\displaystyle y = \sqrt{2} + \sqrt{2} s$ y $\displaystyle z = \frac{\pi}{4} + s$ .

Vector tangente. Cálculo vectorial.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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