24 noviembre, 202121 marzo, 2023 Cesar Reyes blog, cálculo vectorial

Función longitud de arco. Cálculo vectorial.

Introducción

Sea $C$ una curva suave dada por $\mathbf{r} (t)$ definida en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Para $a \le t \le b$ , la función longitud de arco es

$\displaystyle s(t) = \int_{a}^{t}{|| \mathbf{r}' (u) || \ du} = \int_{a}^{t}{\sqrt{{[x'(u)]}^2 + {[y'(u)]}^2 + {[z'(u)]}^2} \ du}$

La longitud de arco $s$ se llama el parámetro longitud de arco.

Figura 1. Representación de la función longitud de arco.

Se observa que la función de la longitud de arco $s$ no es negativa. Mide la distancia sobre $C$ desde el punto inicial $(x(a), y(a), z(a))$ , hasta el punto $(x(t), y(t), z(t))$ .

Teorema

Si $C$ es una curva suave dada por

$\mathbf{r} (s) = x(s) \mathbf{i} + y(s) \mathbf{j}$

(Curva plana)

$\mathbf{r} (s) = x(s) \mathbf{i} + y(s) \mathbf{j} + z(s) \mathbf{k}$

(Curva espacial)

donde $s$ es el parámetro longitud de arco, entonces

$|| \mathbf{r}'(t)|| = 1$

Además, si $t$ es cualquier parámetro para la función vectorial $\mathbf{r}$ , tal que $||\mathbf{r}' (t)|| = 1$ , entonces $t$ debe ser el parámetro longitud de arco.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar la función longitud de arco $s(t)$ para el segmento de recta dado por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}$ , $0 \le t \le 1$ y expresar $\mathbf{r}$ como función del parámetro $s$ .

Figura 2. Representación gráfica del problema 1.

Solución. Se determina la primera derivada de la función vectorial dada

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left[(3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j} \right]$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}$

y después su magnitud

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||-3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}||$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(-3)}^2 + {4}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = 5$

Por variable comodín (se cambia $t$ por $u$ ,

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (u)|| = 5$

Calculando la función longitud de arco, resulta que

$\displaystyle s(t) = \int_{a}^{t}{|| \mathbf{r}' (u) || \ du}$

$\displaystyle s(t) = \int_{0}^{t}{5 \ du}$

$\displaystyle s(t) = 5 \int_{0}^{t}{du}$

$\displaystyle s(t) = 5 \left[ u \right]_{0}^{t}$

$\displaystyle s(t) = 5 \left(t - 0) \right]$

$\displaystyle \therefore s(t) = 5t$

Luego, despejando $t$ ,

$\displaystyle s = 5t$

$\displaystyle \frac{s}{5} = t$

y sustituyendo en la función del problema, la función esperada es,

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}$

$\displaystyle \mathbf{r} (s) = \left[3-3 \left(\frac{s}{5} \right) \right] \mathbf{i} + 4\left( \frac{s}{5} \right) \mathbf{j}$

$\displaystyle \therefore \mathbf{r} (s) = \left(3-\frac{3}{5} s \right) \mathbf{i} + \frac{4}{5} s \mathbf{j}$

para $0 \le s \le 5$ (esto se obtuvo sustituyendo el resultado de la función del parámetro $s$ ).

Publicado por Cesar Reyes

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