Longitud de arco de una curva en el espacio. Cálculo vectorial.

Introducción

Si $C$ es una curva suave dada por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}$ en un intervalo $[a,b]$ , entonces la longitud de arco $C$ en el intervalo es

$\displaystyle s = \int_a^b{\sqrt{{[x'(t)]}^2 + {[y'(t)]}^2 + {[z'(t)]}^2} \ dt} = \int_a^b{|| \mathbf{r}'(t) || \ dt}$

Problemas resueltos

Problema 1. Encuentre la longitud de arco de la curva dada por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k}$ desde $t=0$ hasta $t=2$ , como se muestra en la siguiente figura.

Figura 1. Representación gráfica del problema 1.

Solución. De la función del problema, se determina su primera derivada

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left[t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k} \right]$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = \mathbf{i} + 2t^{1/2} \mathbf{j} + t \mathbf{k}$

Después, se determina su magnitud

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = || \mathbf{i} + 2t^{1/2} \mathbf{j} + t \mathbf{k}||$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(1)}^2 + {(2t^{1/2})}^2 + t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{1 + 4t + t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(t+2)}^2 - 3}$

Tomando la fórmula de la longitud de arco y sustituyendo

$\displaystyle s = \int_a^b{|| \mathbf{r}'(t) || \ dt}$

$\displaystyle s = \int_0^2{\sqrt{{(t+2)}^2 - 3} \ dt}$

$\displaystyle s = \left[ \frac{(t+2)}{2} \sqrt{{(t+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (t+2) + \sqrt{{(t+2)}^2 - 3} \right|} \right]_0^2$

$\displaystyle s = \left[ \frac{(2+2)}{2} \sqrt{{(2+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (2+2) + \sqrt{{(2+2)}^2 - 3} \right|} \right] - \left[ \frac{(0+2)}{2} \sqrt{{(0+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (0+2) + \sqrt{{(0+2)}^2 - 3} \right|} \right]$

$\displaystyle s = \left[ 2 \sqrt{13} - \frac{3}{2} \ln{\left| 4 + \sqrt{13} \right|} \right] - \left[ \sqrt{1} - \frac{3}{2} \ln{\left| 2 + \sqrt{1} \right|} \right]$

$\displaystyle \therefore s = 2 \sqrt{13} - \frac{3}{2} \ln{\left| 4 + \sqrt{13} \right|} - 1 + \frac{3}{2} \ln{3} \approx 4.816$

Problema 2. Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} t \mathbf{k}$ .