Funciones polinomiales. Cálculo diferencial.

Introducción

Las funciones pueden clasificarse, de acuerdo con su origen, en dos grandes grupos: algebraicas y trascendentales. La funciones algebraicas son aquellas cuya regla corresponde a una expresión algebraica como son funciones polinomiales, funciones racionales y funciones irracionales y las funciones transcendentales corresponden a aquellos casos en los que la función no se puede definir por sus operaciones aritméticas, de las cuales son funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas.

Definición

Las funciones polinomiales son todas aquellas funciones formadas por polinomios, donde el grado del polinomio lo determina el mayor exponente de la variable. Su fórmula general es:

$\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0$

donde $n$ es un número positivo y $a$ es una constante real.

Función constante

Es una línea horizontal a la altura del valor de la constante. Su fórmula es $f(x) = b$ .

Un ejemplo seria $f(x) = -1.5$ (figura 1).

*Figura 1. Representando una función constante, «f(x) = -1.5».*

Función identidad

Es aquella cuya gráfica es una línea recta a 45°. La fórmula es $f(x) = x$ . Los valores del dominio son idénticos a los de la imagen.

Funcion lineal

Una función lineal ocurren cambios proporcionales de una variable respecto a otra. Esta funcion el cambio de $y$ depende tanto de su valor inicial como de la pendiente (coeficiente que acompaña a $x$ ).

Su función es de la forma $y=mx+b$ donde su dominio e imagen son todos los números reales; es decir, no tiene ninguna restricción. El signo de la pendiente $m$ representa su inclinación: positiva si va a la izquierda o negativa si va a la derecha. Para poder graficarla solo basta dos puntos y considerando lo siguiente:

a) Si la gráfica es una línea recta, se pueden asignar dos valores diferentes a $x$ y $y$ para obtener dos puntos que se unan mediante una línea recta.
b) El otro caso es intersectar la recta con los ejes.

Por ejemplo, para graficar la función $y = -5x+3$ , primero se toma $x=0$ para que la grafica se intersecte con el eje $y$ :

$\displaystyle y = -5x+3$

$\displaystyle y = -5(0) + 3$

$\displaystyle y = 3$

El punto de intersecion entre la recta y el eje $y$ es $(0,3)$ .

Ahora, si $y=0$ ,

$\displaystyle y = -5x + 3$

$\displaystyle 0 = -5x + 3$

$\displaystyle 5x = 3 \rightarrow x = \frac{3}{5}$

Por lo que el punto de interseccion entre la recta y el eje $x$ es $\displaystyle \left(\frac{3}{5},0 \right)$ .

*Figura 3. Grafica de la funcion «y=-5x+3» con los puntos de intersección calculados.*

Otro ejemplo seria una grafica de dos funciones (figura 4). La grafica linea negra representa la funcion $y=x+3$ mientras que la de la linea gris es $\displaystyle y = \frac{1}{2}x + 3$ .

La segunda funcion se observa que la linea es mas inclinada y esto se debe a que el coeficiente de la $x$ representa una pendiente expreada de la forma

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Esto significa que si el resultado del denominador tiene un valor mas grande que el numerador, la grafica recorrera mas unidades de $x$ y menos de $y$ .

Función cuadrática

Es aquella de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ y su dominio son todos los números reales; es decir, no hay alguna restricción. Su gráfica es una parábola donde si $a>0$ entonces será cóncava hacia arriba o si $a<0$ será cóncava hacia abajo. Su imagen está determinada por el máximo o mínimo de la función, el cual se puede obtener a partir del vértice. Además, si el coeficiente del término cuadrático es una fracción, la parábola estará más abierta; sucederá lo contrario si su coeficiente es más grande. Las intersecciones con el eje $x$ son los ceros de la ecuación, el vértice (máximo o mínimo) de la parábola está dado por el punto $(h,k)$ , donde: $\displaystyle h = - \frac{b}{2a}$ y $k = f(h)$ .

Un ejemplo para graficar una funcion esta $y = x^2 - 5x - 14$ . Comparando:

$y = x^2 - 5x - 14$ $\rightarrow$ $f(x) = ax^2 + bx + c$

donde $a=1$ , $b=-5$ y $c = -14$ .

La parábola es cóncava hacia arriba ya que $a>0$ .

Las intersecciones de la grafica con el eje x ( $y=0$ ) son

$y = x^2 - 5x - 14$

$0 = x^2 - 5x - 14$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

(Por fórmula general)

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{{(-5)}^2 - 4(1)(-14)}}{2(1)}$

$\displaystyle x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2}$

$\displaystyle x = \frac{5 \pm 9}{2}$

$\displaystyle x_1 = 7$

$\displaystyle x_2 = -2$

Asi que, los puntos de interseccion son: $(7,0)$ y $(-2,0)$ .

Por último, el vértice se obtiene:

$\displaystyle h = - \frac{b}{2a}$

$\displaystyle h = - \frac{(-5)}{2(1)}$

$\displaystyle h = \frac{5}{2} = 2.5$

$k = f(h)$

$\displaystyle k = f \left( \frac{5}{2} \right)$

$\displaystyle k = {\left( \frac{5}{2} \right)}^2 - 5 \left( \frac{5}{2} \right) - 14 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 14$

$\displaystyle k = - \frac{81}{4} = -20.25$

Por tanto, $\displaystyle (2.5, -20.25)$

Con estos tres puntos, ya es posible graficar la funcion. El resultado se observa en la figura 5.

*Figura 5. Grafica de la funcion $y = x^2 - 5x - 14$ .*

*Figura 5. Grafica de la funcion $y = x^2 - 5x - 14$ .*

Función cúbica

Es un polinomio en el que la variable tiene un exponente de grado tres y puede estar dada por la forma $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ . Su dominio son todos los números reales ya que no tiene restricciones como divisiones o raíces; su imagen también está dada por todos los números reales. Cada coeficiente de la ecuación cúbica revela un comportamiento al momento de graficarlo. Estos puntos son:

El término $a_0$ representa el término independiente y esto hace que la gráfica puede desplazarse hacia arriba (si es $+ a_0$ ) o hacia abajo (si es $-a_0$ ) en el eje $y$
El término $a_1 x$ , conocido como término lineal, menciona qué tan grandes son las curvas
El término cuadrático $a_2 x^2$ hace desplazar la ecuación hacia la izquierda o hacia la derecha
Y el signo de la variable cúbica $a_3 x^3$ determina si tiene la forma «N» (cuando es $x^3$ , por ejemplo) o la forma «Ͷ» (cuando es $-x^3$ , por ejemplo).

Si solo existe la variable de grado tres [es decir, $f(x) = \pm x^3$ ] puede tener dos formas:

Figura 6. Hacia la derecha cuando $f(x) = x^3$

Figura 7. Hacia la izquierda cuando $f(x) = -x^3$

Si una función cúbica llega a tener más términos, tendrian la siguiente forma:

Figura 8.

Figura 9.

La manera de graficar una función cúbica es intersectarla con los ejes; se necesitan tres intersecciones con el eje $x$ , la intersección con el eje $y$ , y saber si la variable de grado tres es positiva o negativa.

Funciones polinomiales. Cálculo diferencial.

Introducción

Definición

Función constante

Función identidad

Funcion lineal

Función cuadrática

Función cúbica

Publicado por Cesar Reyes

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Definición

Función constante

Función identidad

Funcion lineal

Función cuadrática

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