Límites. Cálculo diferencial.

Introducción.

Diapositiva2 — *Figura 3.1.1. Métodos a aplicar para cada caso de límites.*

Primer caso: forma directa.

Problemas resueltos.

Problema 1. Evaluar el límite para la función $f(x) = 3x$ para «x = 2».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{3x} = 3(2) = 6$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 2}{3x} = 6$

Problema 2. Evaluar el límite para la función $f(x) = 4x$ para «x = 0».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{4x}=4(0)=0$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 0}{4x} = 0$

Problema 3. Evaluar el límite para la función $f(a) = \sqrt{8a}$ para «a = 2».

Solución.

$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 2}{\sqrt{8a}} = \sqrt{8(2)} = \sqrt{16} = 4$

$\displaystyle \therefore \lim_{a \rightarrow 2}{\sqrt{8a}} = 4$

Problema 4. Evaluar el límite para la función $f(x) = 7x - 10$ para «x = 2/3».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{2}{3}}{(7x - 10)} = 7(\frac{2}{3}) - 10 = \frac{14}{3} - 10 = - \frac{16}{3}$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{2}{3}}{(7x - 10)} = - \frac{16}{3}$

Problema 5. Evaluar el límite para la función $f(x) = {x}^{2} + 8x - 1$ para «x = −2».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}{({x}^{2}+8x-1)}={(-2)}^{2} + 8(-2) - 1 = 4 - 16 -1 = -13$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}{({x}^{2} + 8x - 1)} = -13$

Problema 6. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{3{x}^{2} + 7x - 3}{2x - 1}$ para «x = 0».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{3{x}^{2} + 7x - 3}{2x - 1}} = \frac{3{(0)}^{2}+7(0) - 3}{2(0) - 1} = \frac{0 + 0 - 3}{0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{3{x}^{2} + 7x - 3}{2x - 1}} = 3$

Problema 7. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{x}{3x - 2}$ para «x = 2».

Solución.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{x}{3x-2}} = \frac{0}{3(0) - 2} = \frac{0}{0 - 2} = \frac{0}{-2} = 0$

Segundo caso: factorización.

Problemas resueltos.

Problema 8. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}$

para «x = 2».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de factorización

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}}$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 2}{(x+2)} = (2+2) = 4$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = 4$

Problema 9. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}$ para «x = 3».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{{x}^{2} + 4x - 21}{x - 3}} = \frac{{3}^2 + 4(3) - 21}{3 - 3}$

$\displaystyle = \frac{9+12-21}{0} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de factorización

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{{x}^{2} + 4x - 21}{x - 3}} = \lim_{x \rightarrow 3}{frac{(x - 3)(x + 7)}{(x-3)}}$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 3}{(x+7)} = (3 + 7) = 10$

$\displaystyle 'therefore \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{{x}^{2} + 4x - 21}{x - 3}} = 10$

Problema 10. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}$ para «x = 1».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de factorización

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{(x - 1)({x}^{2} + x + 1)}{(x - 1)}}$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 1}{{x}^{2} + x + 1} = {(1)}^{2} + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = 3$

Problema 11. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} + 9x}{x}$ para «x = 0».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = \frac{{0}^{2} + 9(0)}{0} = \frac{0+0}{0} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de factorización

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x(x+9)}{x}}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}{(x + 9)} = (0+9) = 9$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = 9$

Problema 12. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(\alpha) = \frac{\csc{\alpha}}{1-{\cos}^{2}{\alpha}}$ para α = 0.

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\csc{\alpha}}{1 - {\cos}^{2}{\alpha}}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\csc{\alpha}}{1 - {\cos}^{2}{\alpha}}} = \frac{0}{1 - 1} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de factorización.

$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\csc{\alpha}}{1 -{\cos}^{2}{\alpha}}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\csc{\alpha}}{{\sin}^{2}{\alpha}}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{(\csc{\alpha})({\csc}^{2}{\alpha})}$

$\displaystyle = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{{\csc}^{3}{\alpha}} = {\csc}^{3}{0} = \infty$

$\displaystyle \therefore \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\csc{\alpha}}{1-{\cos}^{2}{\alpha}}} = \infty$

Tercer caso: regla L’Hôpital.

Fórmula para la regla L’Hôpital:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{\frac{{f}^{'}(x)}{{g}^{'}(x)}} = \lim_{x \rightarrow a}{\frac{\frac{d}{dx}f(x)}{\frac{d}{dx}g(x)}}$

Problemas resueltos.

Problema 13. Evaluar el límite para la función $displaystyle f(x) = frac{x^2-4}{x-2}$ para «x = 2».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de L’Hôpital

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{\frac{d}{dx} ({x}^{2} - 4)}{\frac{d}{dx}{(x - 2)}}} = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{2x}{1}} = \frac{2(2)}{1} = \frac{4}{1} = 4$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}} = 4$

Problema 14. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} - 4}{x - 2}$ para «x = 3».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{{x}^{2} + 4x - 21}{x - 3}} = \frac{{(3)}^{2} + 4(3) - 21}{3 - 3} = \frac{9+12-21}{0} = frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de L’Hôpital

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{\frac{d}{dx} ({x}^{2} + 4x - 21)}{{\frac{d}{dx}(x - 3)}}} = \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{2x+4}{1}} = \frac{2(3) + 4 }{1} = \frac{6 + 4}{1} = 10$

$\displaystyle \therefore \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{{x}^{2} + 4x - 21}{x - 3}} = 10$

Problema 15. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{3} -1}{x - 1}$ para «x = 1».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de L’Hôpital

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{\frac{d}{dx}({x}^{3} - 1)}{\frac{d}{dx}(x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{3{x}^{2}}{1}} = \frac{3{(1)}^{2}}{1} = \frac{3(1)}{1} = \frac{3}{1} = 3$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{{x}^{3} - 1}{x - 1}} = 3$

Problema 16. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} + 9x}{x}$ para «x = 0».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = \frac{{0}^{2} + 9(0)}{0} = \frac{0+0}{0} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de L’Hôpital

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{d}{dx} ({x}^{2} + 9x)}{\frac{d}{dx}(x)}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2x + 9}{1}} = \frac{2(0) + 9}{1} = \frac{0 + 9}{1} = \frac{9}{1} = 9$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{{x}^{2} + 9x}{x}} = 9$

Problema 17. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{\sin{alpha}}{\tan{\alpha}}$ para α = 0.

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\sin{\alpha}}{\tan{\alpha}}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\sin{\alpha}}{\tan{\alpha}}} = \frac{\sin{0}}{\tan{0}} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de L’Hôpital

$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\sin{\alpha}}{\tan{\alpha}}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\frac{d}{dx}(\sin{\alpha})}{\frac{d}{dx}(\tan {\alpha})}} = \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\cos{\alpha}}{{\sec}^{2}{\alpha}}}= \frac{\cos{0}}{{\sec}^{2}{0}} = \frac{1}{{(1)}^{2}} = \frac{1}{1} = 1$

$\displaystyle \therefore \lim_{\alpha \rightarrow 0}{\frac{\sin{\alpha}}{\tan{\alpha}}} = 1$

Quinto caso: racionalización.

Problemas resueltos.

Problema 18. Evaluar el límite para la función $\displaystyle f(x) = \frac{4 - {x}^{2}}{3 - \sqrt{{x}^{2} + 5}}$ para «x = 2».

Solución. Aplicando el límite en la función

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{4 - {x}^{2}}{3 - \sqrt{{x}^{2} + 5}}} = \frac{4 - {(2)}^{2}}{3 - \sqrt{{(2)}^{2}+5}}$

$\displaystyle = \frac{(4 - 4)}{3 - \sqrt{4 + 5}} = \frac{0}{3 - \sqrt{9}}$

$\displaystyle = \frac{0}{3 - 3} = \frac{0}{0} = indeterminado$

Se presenta una indeterminación, entonces, aquí se aplica el método de racionalización:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}{\left[\frac{4 - {x}^{2}}{3 - \sqrt{{x}^{2}+5}}\right]} = \lim_{x \rightarrow 2}{\left(\frac{4 - {x}^{2}}{3 - \sqrt{{x}^{2} + 5}}\right)} \left(\frac{3 + \sqrt{{x}^{2} + 5}}{3 + \sqrt{{x}^{2} + 5}} \right)$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{(4 - {x}^{2})(3 + \sqrt{{x}^{2} + 5})}{9 - ({x}^{2} + 5)}} = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{(4 - {x}^{2})(3 + \sqrt{{x}^{2}+5})}{9 - {x}^{2} - 5}} = \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{(4 - {x}^{2})(3+\sqrt{{x}^{2} + 5})}{4 - {x}^{2}}}$

$\displaystyle = \lim_{x \rightarrow 2}{3 + \sqrt{{x}^{2} + 5}} = 3 + \sqrt{{(2)}^{2} + 5} = 3 + \sqrt{4 + 5} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$

Referencias bibliográficas.

Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.
Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos enfoque por competencias. México: Pearson Educación.
Mitacc, M., & Toro Mota, L. (2009). Tópicos de cálculo. Volumen 1. Perú: Thales S. R. L.
Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Panamericana.
Thomas, J. G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.
Zill, D. G. (1999). Cálculo con geometría analítica. México.
Zill, D. G., & Wright, W. S. (2010). Matemáticas 1. Cálculo diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana.

Límites. Cálculo diferencial.

Introducción.

Primer caso: forma directa.

Problemas resueltos.

Segundo caso: factorización.

Problemas resueltos.

Tercer caso: regla L’Hôpital.

Problemas resueltos.

Quinto caso: racionalización.

Problemas resueltos.

Referencias bibliográficas.

Publicado por Cesar Reyes

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Límites. Cálculo diferencial.

Introducción.

Primer caso: forma directa.

Problemas resueltos.

Segundo caso: factorización.

Problemas resueltos.

Tercer caso: regla L’Hôpital.

Problemas resueltos.

Quinto caso: racionalización.

Problemas resueltos.

Referencias bibliográficas.

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