17 octubre, 20171 enero, 2021 Cesar Reyes cálculo vectorial

Producto escalar. Cálculo vectorial.

Introducción

El producto escalar de $\bold{u} = ({u}_{1},{u}_{2})$ y $\bold{v} = ({v}_{1}, {v}_{2})$ es:

$\bold{u} \cdot \bold{v} = {v}_{1} \cdot {u}_{1} + {v}_{2} \cdot {u}_{2}$

El producto escalar de $\bold{u} = ({u}_{1},{u}_{2},{u}_{3})$ , $\bold{v} = ({v}_{1}, {v}_{2}, {v}_{3})$ es:

$\bold{u} \cdot \bold{v}={v}_{1} \cdot {u}_{1} + {v}_{2} \cdot {u}_{2} + {v}_{3} \cdot {u}_{3}$

Propiedades del producto escalar

Sean $\bold{u}$ , $\bold{v}$ y $\bold{w}$ vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar.

$\bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{v} \cdot \bold{u}$ (propiedad conmutativa)
$\bold{u} \cdot (\bold{v} + \bold{w}) = \bold{u} \cdot \bold{v} + \bold{u} \cdot \bold{w}$ (propiedad distributiva)
$c(\bold{u} \cdot \bold{v}) = c\bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{u} \cdot c\bold{v}$
$\bold{0} \cdot \bold{v} = \bold{0}$
$\bold{v} \cdot \bold{v} =||\bold{v}||^2$

Problema resuelto

Problema. Dados los vectores u=(2,-2), v=(5,8) y w=(-4,3), encontrar:

a) $\bold{u} \cdot \bold{v}$
b) $(\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w}$
c) $\bold{u} \cdot (2\bold{v})$
d) $||\bold{w}||^2$

Solución a). Realizando la operación del producto punto

$\bold{u} \cdot \bold{v} = (2,-2) \cdot (5,8) = (2)(5) + (-2)(8)$

$\bold{u} \cdot \bold{v} = 10 - 16 = -6$

$\therefore \bold{u} \cdot \bold{v} = -6$

Solución b). Realizando la operación del producto punto:

$(\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w} = (-6)(-4, 3)$

$\therefore (\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w} = (24, -18)$

Solución c). Realizando la operación del producto punto:

$\bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = 2 (\bold{u} \cdot \bold{v})= 2 [(2, -2) \cdot (5, 8)]$

$\bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = 2 (10 - 16) = 2(-6) = -12$

$\therefore \bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = -12$

Solución d). Realizando la operación del producto punto

${||\bold{w}||}^{2} = \bold{w} \cdot \bold{w} = (-4, 3) \cdot (-4, 3)$

${||\bold{w}||}^{2} = (-4)(-4) + (3)(3) = 16 + 9 = 25$

$\therefore ||\bold{w}||^2 = 25$

Publicado por Cesar Reyes

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