(1.4) Aplicaciones del producto escalar. Cálculo vectorial.

Ángulo entre dos vectores.

Si 𝜃 es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces:

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}$

Donde
𝒖: es el vector u
𝒗: es el vector v

Diapositiva4 — *Figura 1.4.1 Imagen ilustrativa referente al tema 1.4.*

Problemas resueltos.

Problema 1. Si u = (3,-1,2), v = (-4,0,2), w = (1,-1,-2) y z = (2,0,-1), hallar el ángulo entre cada uno de los siguientes pares de vectores:

a) $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$
b) $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{w}$
c) $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{z}$

Solución a).

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}$

$\displaystyle = \frac{(3, -1, 2) \cdot (-4, 0, 2)}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} = \frac{-12+0+4}{\sqrt280} = \frac{-8}{\sqrt{280}} = \frac{-4}{\sqrt{70}}$

$\theta = 118.5608$ °

Solución b)

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{w}||} = \frac{(3, -1, 2) \cdot (1, -1, -2)}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}$

$\displaystyle = \frac{(3 + 1 - 4)}{\sqrt{84}} = \frac{0}{\sqrt{84}} = 0$

$\theta = \arccos{0}$

$\therefore \theta = 90$ °

Se dice que los vectores u y w son paralelos.

Solución c)

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{z})}{||\overrightarrow{v}|| \cdot ||\overrightarrow{z}||} = \frac{(-4, 0, 2) \cdot (2, 0, -1)}{\sqrt{20} \sqrt{5}}$

$\displaystyle = \frac{-8+0-2}{\sqrt{100}} = - \frac{10}{10} = -1$

$\theta = \arccos{(-1)}$

$\theta = 180$ °

Se dicen que los vectores son paralelos, es decir, 𝑣 = −2𝑧.

Proyección utilizando el producto escalar.

Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por:

$\displaystyle {proy}_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{{||\overrightarrow{v}||}^{2}}\overrightarrow{v}$

Problema 2. Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u = 3i – 5j + 2k y v = 7i + j – 2k.

Solución. Para la proyección de u en v es:

$\displaystyle \overrightarrow{{w}_{1}} = {proy}_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||^2} \overrightarrow{v}$

$\displaystyle = \frac{(3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}) \cdot (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})}{{(\sqrt{54})}^{2}} (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\displaystyle = \frac{(3,-5,2) \cdot (7,1,-2)}{54} (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}) = \frac{21-5-4}{54}(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\displaystyle = \left( frac{12}{54} \right) \left(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\right)=\left(\frac{2}{9}\right)(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}) = \frac{14}{9} \overrightarrow{i}+\frac{2}{9} \overrightarrow{j} - \frac{4}{9}\overrightarrow{k}$

Para la componente vectorial de u ortogonal a v es el vector.

$\overrightarrow{{w}_{2}} = \overrightarrow{u} - {\overrightarrow{w}_{1}}$

$\displaystyle \overrightarrow{{w}_{2}} = \left( 3 \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k} \right) - \left( \frac{14}{9} \overrightarrow{i} + \frac{2}{9} \overrightarrow{j} - \frac{4}{9} \overrightarrow{k} \right)$

$\displaystyle \therefore \overrightarrow{{w}_{2}} = \frac{13}{9} \overrightarrow{i} - \frac{47}{9} \overrightarrow{j} + \frac{22}{9} \overrightarrow{k}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

(1.4) Aplicaciones del producto escalar. Cálculo vectorial.

Ángulo entre dos vectores.

Problemas resueltos.

Proyección utilizando el producto escalar.

Referencias bibliográficas.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

(1.4) Aplicaciones del producto escalar. Cálculo vectorial.

Ángulo entre dos vectores.

Problemas resueltos.

Proyección utilizando el producto escalar.

Referencias bibliográficas.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta