Rectas en el espacio. Cálculo vectorial.

Introducción

En el plano se utiliza lo que es la pendiente para poder determinar una ecuación de una recta.

El segmento $\overrightarrow{PQ}$ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir a $\overrightarrow{PQ} = t\bold{v}$ , donde «t» representa el escalar (la cual, es un número real).

$\overrightarrow{PQ} = (x - {x}_{1}, y - {y}_{1}, z - {z}_{1})$

$\overrightarrow{PQ} = (at, bt, ct) = t\bold{v}$

Imagen1 — *Figura 1.8.1 Representación gráfica de una recta en el espacio.*

Ahora, una recta L paralela al vector $\bold{v} = (a, b, c)$ y que pasa por el punto $P({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1})$ se representa por medio de ecuaciones paramétricas

$x = {x}_{1} + at$

$y = {y}_{1} + bt$

$z = {z}_{1} + ct$

Y la siguiente expresión representa una ecuación simétrica

$\displaystyle \frac{x - {x}_{1}}{a} = \frac{y - {y}_{1}}{b} = \frac{z - {z}_{1}}{c}$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto (1,-2,4) y es paralela a v = (2,4,-4).

Solución. De acuerdo con el punto

$P({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}) = P(1, -2, 4)$

Y con el vector

$\bold{v} = (a, b, c) = (2, 4, -4)$

Se va obteniendo las ecuaciones paramétricas

$x = {x}_{1} + at \quad \rightarrow \quad \therefore x = 1 + 2t$

$y = {y}_{1} + bt \quad \rightarrow \quad \therefore y = -2 + 4t$

$z = {z}_{1} + ct \quad \rightarrow \quad \therefore z = 4 - 4t$

Por lo que las ecuaciones simétricas son

$\displaystyle \frac{x - {x}_{1}}{a} = \frac{y - {y}_{1}}{b} = \frac{z - {z}_{1}}{c}$

$\displaystyle \therefore \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{4} = - \frac{z - 4}{4}$

Problema 2. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (-2,1,0) y (1,3,5).

Solución. De acuerdo con lo siguiente

$\bold{v} = \overrightarrow{PQ} = [1 - (-2), 3 - 1, 5 - 0] = (3, 2, 5) = (a, b, c)$

Donde «a = 3», «b = 2» y «c = 5».

Y mediante estos datos y con el punto inicial que es ${P}_{1} (-2, 1, 0)$ ya se obtienen las ecuaciones paramétricas:

$x = {x}_{1} + at \quad \rightarrow \quad \therefore x = -2 + 3t$

$y = {y}_{1} + bt \quad \rightarrow \quad \therefore y = 1 + 2t$

$z = {z}_{1} + ct \quad \rightarrow \quad \therefore z=5t$

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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