Propiedades geométricas del producto vectorial. Cálculo vectorial.

Introducción

Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio, y sea θ un ángulo entre los vectores u y v.

$\bold{u} \times \bold{v}$ es ortogonal tanto u como a v.
$||\bold{u} \times \bold{v}|| = ||\bold{u}| |||\bold{v}|| \sin{\theta}$
$\bold{u} \times \bold{v} = \bold{0}$ si y sólo si u y v son múltiples escalares uno de otro.
$||\bold{u} \times \bold{v}|| =$ area del paralelogramo que tiene a los vectores u y v como lados adyacentes.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a u = i – 4j + k como a v = 2i + 3j.

Solución. Del vector v se sabe que

$\bold{v} = 2\bold{i} + 3\bold{j} = 2\bold{i} + 3\bold{j} + 0\bold{k}$

El calculo del vector unitario se basa en la siguiente fórmula

$\displaystyle \bold{w} = \frac{\bold{u} \times \bold{v}}{||\bold{u} \times \bold{v}||}$

Por lo que es necesario obtener el producto vectorial usando los vectores u y v.

$\bold{u} \times \bold{v} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ 1 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix} \right]$

$\bold{u} \times \bold{v} = 0\bold{i} + 2\bold{j} + 3\bold{k} + 8\bold{k} - 0\bold{j} - 3\bold{i}$

$\bold{u} \times \bold{v} = -3\bold{i} + 2\bold{j} + 11\bold{k}$

Se calcula la magnitud del resultado del producto cruz

$||\bold{u} \times \bold{v}||= \sqrt{{(-3)}^2+{(2)}^2+{(11)}^2} = \sqrt{9+4+121}$

$||\bold{u} \times \bold{v}|| = \sqrt{134}$

Finalmente se sustituyen las operaciones obtenidas durante el procedimiento

$\displaystyle \bold{w} = \frac{\bold{u} \times \bold{v}}{||\bold{u} \times \bold{v}||} = \frac{- 3\bold{i} + 2\bold{j} + 11\bold{k}}{\sqrt{134}} = - \frac{3}{\sqrt{134}} \bold{i} + \frac{2}{\sqrt{134}} \bold{j} + \frac{11}{\sqrt{134}} \bold{k}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \bold{w} = - \frac{3}{\sqrt{134}} \bold{i} + \frac{2}{\sqrt{134}} \bold{j} + \frac{11} {\sqrt{134}}\bold{k}$

Donde w representa el vector unitario.

Problema 2. Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a $\bold{u} = \bold{i} - 4 \bold{j} + \bold{k}$ como a $\bold{v} = 2\bold{i} + 3 \bold{j}$

Solución. El producto vectorial $\bold{u} \times \bold{v}$ es ortogonal tanto a u como a v. Entonces

$\bold{u} \times \bold{v} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ -3 & 4 & 1 \\ 0 & -2 & 6 \end{matrix} \right]$

$\bold{u} \times \bold{v} = -3 \bold{i} +2 \bold{j} + 11 \bold{k}$

Calcula su magnitud

$||\bold{u} \times \bold{v}|| = \sqrt{{(-3)}^2 + {2}^2 + {11}^2}$

$||\bold{u} \times \bold{v}|| = \sqrt{9+4+121} = \sqrt{134}$

Así que, el vector unitario ortogonal que es tanto a u como a v es

$\displaystyle \frac{\bold{u} \times \bold{v}}{||\bold{u} \times \bold{v}||} = \frac{(-3 \bold{i} +2 \bold{j} + 11 \bold{k})}{\sqrt{134}}$

$\displaystyle \therefore \frac{\bold{u} \times \bold{v}}{||\bold{u} \times \bold{v}||} = - \frac{3}{\sqrt{134}} \bold{i} + \frac{2}{\sqrt{134}} \bold{j} + \frac{11}{{\sqrt{134}} \bold{k})}$

Problema 2. Calcular el área de un paralelogramo donde sus vértices son los siguientes puntos: 𝐴=(5,2,0), 𝐵=(2,6,1), 𝐶=(2,4,7), 𝐷=(5,0,6).

Solución. Para obtener los lados definitivos del paralelogramo, se obtienen vectores basados en sus puntos.

\overrightarrow{AB} = ({x}_{b} - {x}_{a}, {y}_{b} - {y}_{a}, {z}_{b} - {z}_{a})

\overrightarrow{AB} = (2-5, 6-2, 1-0) = (-3, 4, 1)

En estos cálculos, los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}$ son paralelos a $\overrightarrow{CD}$ y $\overrightarrow{CB}$ por lo que los lados del paralelogramo $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}$ son lados adyacentes. Por lo que aplicando el producto cruz es:

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ -3 & 4 & 1 \\ 0 & -2 & 6 \end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ -3 & 4 & 1 \\ 0 & -2 & 6 \end{matrix} \begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} \\ -3 & 4 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [(4)(6)\bold{i} + (1)(0)\bold{j} + (-3)(-2)\bold{k}] - [(0)(4)\bold{k} + (-2)(1)\bold{i} + (6)(-3)\bold{j}]$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = 24\bold{i} + 0\bold{j} + 6\bold{k} + 0\bold{k} + 2\bold{i} + 18\bold{j}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = 26\bold{i} + 18\bold{j} + 6\bold{k}$

Finalmente su área es:

$A = ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}||$

$\displaystyle A = \sqrt {{(26)}^2 + {(18)}^2 + {(6)}^2}$

$\displaystyle A = \sqrt{1036} \approx 32.19 {u}^{2}$

Problema 3. Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje en el punto P. Calcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando θ = 60°.

Solución. Se representa la fuerza vertical en términos vectoriales

$\bold{F} = 0\bold{i} + 0\bold{j} - 50\bold{k}$

Y para la palanca

$\overrightarrow{PQ} = PQ\cos{\theta} \bold{i} + PQ\sin{\theta} \bold{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{PQ} = (1)\cos{60} \bold{i} + (1)\sin{60} \bold{j} = (1)(\frac{1}{2}) \bold{i} + (1) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \bold{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} \bold{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bold{j}$

Uilizando el producto cruz, el momento de F respecto al punto P es:

$\bold{M} = \bold{F} \times \overrightarrow{PQ} = \left[ \begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & -50 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \bold{M} = [(\frac{1}{2})(-50)\bold{i} + (\frac{\sqrt{3}}{2})(0)\bold{j} +(0)(0)\bold{k}] - [(0)(\frac{1}{2})\bold{k} + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2})\bold{k} + (-50)(0)\bold{j}]$

$\bold{M} = -25\bold{i} + 0\bold{j} + 0\bold{k}$

Por lo tanto, la magnitud de ese momento es

$\displaystyle M =||\bold{M}|| = ||\bold{F} \times \overrightarrow{PQ} || = \sqrt{{(-25)}^{2} + {0}^{2} + {0}^{2}} = 25$

$\therefore M = 25$ (libras – pie)

$\overrightarrow{AB} = ({x}_{b} - {x}_{a}, {y}_{b} - {y}_{a}, {z}_{b} - {z}_{a})$ $\overrightarrow{AB} = (2-5, 6-2, 1-0) = (-3, 4, 1)$ $\therefore \overrightarrow{AB} = -3\bold{i} + 4\bold{j} + \bold{k}$	$\overrightarrow{CD} = ({x}_{d} - {x}_{c}, {y}_{d} - {y}_{c}, {z}_{d} - {z}_{c})$ $\overrightarrow{CD} = (5-2, 0-4, 6-7) = (3, -4, 1)$ $\therefore \overrightarrow{CD} = 3\bold{i} - 4\bold{j} - \bold{k} = -\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AD} = ({x}_{d} - {x}_{a}, {y}_{d} - {y}_{a}, {z}_{d} - {z}_{a})$ $\overrightarrow{AD} = (5-5, 0-2, 6-0) = (0, -2, 6)$ $\therefore \overrightarrow{AD} = 0\bold{i} - 2\bold{j} + 6\bold{k}$	$\overrightarrow{CB} = ({x}_{b} - {x}_{c}, {y}_{b} - {y}_{c}, {z}_{b} - {z}_{c})$ $\overrightarrow{CB} = (2-2, 6-4, 1-7) = (0, 2, -6)$ $\therefore \overrightarrow{CB} = 0\bold{i} + 2\bold{j} - 6\bold{k} = -\overrightarrow{AD}$

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