Ángulo entre dos planos. Cálculo vectorial.

Ángulo entre dos planos.

Dos planos distintos en el espacio tridimensional donde pueden ser paralelos o pueden cortarse en una recta. Si se cortan, se puede determinar el ángulo 0 ≤ α ≤ π/2 entre ellos a partir del ángulo entre sus vectores normales.

$\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{|\overrightarrow{{n}_{1}} \cdot \overrightarrow{{n}_{2}}|}{||\overrightarrow{{n}_{1}} || ||\overrightarrow{{n}_{2}}||}$

donde, dos planos con vectores normales $\overrightarrow{{n}_{1}}$ y $\overrightarrow{{n}_{2}}$ son

Perpendiculares si $\overrightarrow{{n}_{1}} \cdot \overrightarrow{{n}_{2}} = 0$
Paralelos si ${n}_{1}$ es un múltiplo escalar de ${n}_{2}$

Diapositiva3 — *Figura 1. Representación gráfica del ángulo entre dos planos.*

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar el ángulo entre dos planos dados por $x - 2y + z = 0$ y $2x + 3y - 2z = 0$ y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección.

Solución. Primero se analiza quién es ${n}_{1}$ y ${n}_{2}$

De la ecuación $x - 2y + z$ el vector, expresado en coordenadas, es

$\overrightarrow{{n}_{1}} = (1, -2, 1)$

De la ecuación $2x + 3y - 2z$ el vector, expresado en coordenadas, es:

$\overrightarrow{{n}_{2}} = (2, 3, -2)$

De acuerdo con la fórmula y sustituyendo valores

$\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{|\overrightarrow{{n}_{1}} \cdot \overrightarrow{{n}_{2}}|}{||\overrightarrow{{n}_{1}}|| ||\overrightarrow{{n}_{2}}||}$

$\displaystyle = \frac{|(1, -2, 1) \cdot (2,3,-2)|}{||(1,-2,1)|| ||(2,3,-2)||} = \frac{|2-6-2|}{\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(1)^2} \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-2)^2}}$

$\displaystyle = \frac{|-6|}{\sqrt{6} \sqrt{17}} = \frac{6}{\sqrt{102}} \approx 0.5941$

Despejando α

$\cos{\alpha} = 0.5941$

$\alpha = \arccos{0.5941} = 53.5515$ °

$\therefore \alpha = 53.5515$ °

Y para encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección se calcula el vector normal utilizando los vectores $\overrightarrow{{n}_{1}}$ y $\overrightarrow{{n}_{2}}$

$\displaystyle \overrightarrow{n} = \overrightarrow{{n}_{1}} \times \overrightarrow{{n}_{2}} = \left[ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \end{matrix} \right]$

$= (4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}) - (-4\overrightarrow{k} + 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}) = \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k}$

$\therefore \overrightarrow{n} = \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k}$

Y como $\overrightarrow{n} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k} = (a, b, c)$ , entonces:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k} = (1, 4, 7)$

Y sustituyendo estos valores y considerando que el punto P(0,0,0) se presenta debido a que la recta iniciará desde el origen, entonces, la recta de intersección es

$x = {x}_{1} + at = 0 + (1)t = t \quad \rightarrow \quad \therefore x=t$