Distancia de un punto a un plano. Cálculo vectorial.

Introducción

La distancia de un punto a un plano $Q$ (no en el plano) es

$\displaystyle D = ||{\text{proy}}_{n} \overrightarrow{PQ}||= \frac{|\overrightarrow{PQ}| \cdot \bold{n}}{||\bold{n}||}$

donde $P$ es un punto en el plano y $\bold{n}$ es normal al plano.

Si se requiere hallar un punto dado $ax + by + cz + d = 0$ ( $a \ne 0$ ), se hace tomar que $y = 0$ y $z = 0$ , por lo que en la ecuación $ax + by + cz + d = 0$ concluye que el punto $\displaystyle (-\frac{d}{a}, 0, 0)$ está en el plano.

Problema resuelto

Problema. Calcular la distancia del punto $Q(1,5,-4)$ al plano dado por $3x - y + 2z = 6$ .

Solución. De la ecuación $3x - y + 2z = 6$ , encontramos que el vector $\bold{n}$ es

$\bold{n} = (3, -1, 2)$

Y recordando que en esa misma ecuación, sabe que $y = 0$ y $z = 0$ , por lo tanto:

$3x - y + 2z = 6$

$3x - 0 + 2(0) = 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Donde $P$ presenta coordenadas de $P(2,0,0)$ . Además, para encontrar el vector $\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{PQ} = (1 - 2, 5 - 0, - 4 - 0)$

$\overrightarrow{PQ} = (-1 , 5, -4)$

Y sustituyendo esos datos a la fórmula, se obtiene el resultado

$\displaystyle D = \frac{|\overrightarrow{PQ} \cdot \bold{n}|}{||\bold{n}||} = \frac{|(-1,5,-4) \cdot (3,-1,2)|}{\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(2)^2}}$

$\displaystyle D = \frac{|-3-5-8|}{\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(2)^2}} = \frac{|-16|}{\sqrt{14}} = \frac{16}{\sqrt{14}}$

$\displaystyle \therefore D = \frac{16}{\sqrt{14}} \approx 4.2762$ unidades

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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