Distancia de un punto a una recta en el espacio. Cálculo vectorial.

Introducción

La distancia desde un punto a una recta en el espacio es:

$\displaystyle D = \frac{||\overrightarrow{PQ} \times \bold{u}||}{||\bold{u}||}$

Donde u es el vector de dirección para la recta, P es un punto sobre la recta y Q es la distancia de un punto a la recta en el espacio.

Problema resuelto

Problema. Hallar la distancia del punto $Q(3,-1,4)$ a la recta dada por $x = -2 + 3t$ , $y = -2t$ , $z = 1 + 4t$ .

Solución. Analizando las rectas se observa que

$x = -2 + 3t = -2 + 3t \quad \rightarrow \quad a=3$

$y = -2t = 0 - 2t \quad \rightarrow \quad b = -2$

$z = 1 + 4t = 1 + 4t \quad \rightarrow \quad c=4$

Quedando $\bold{u} = (3, -2, 4)$ , la cual es el vector que está dando en dirección hacia la recta. Para encontrar un punto en la recta se hace que $t = 0$ .

$x = -2 + 3t = -2 + 3(0) = -2 \quad \rightarrow \quad x = -2$

$y = -2t = -2(0) = 0 \quad \rightarrow \quad y=0$

$z = 1 + 4t = 1 + 4(0) = 1 \quad \rightarrow \quad z = 1$

Y se tiene el resultado de la siguiente manera

$\therefore P(-2, 0, 1)$

Y para obtener $\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{PQ} = [3 - (-2), -1 - 0, 4 - 1] = (5, -1, 3)$

Lo que sigue es realizar el producto cruz entre los vectores $\overrightarrow {PQ}$ y $\bold{u}$

$\overrightarrow{PQ} \times \bold{u} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ 5 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 4 \end{matrix} \right]$

$\overrightarrow{PQ} \times \bold{u} = (-4\bold{i} + 9\bold{j} -10\bold{k}) - (-3\bold{k} - 6\bold{i} + 20\bold{j}) = 2\bold{i} - 11\bold{j} - 7\bold{k} = (2, -11, -7)$

$\overrightarrow{PQ} \times \bold{u} = (2, -11, -7)$

Y para finalizar, se sustituyen valores

$\displaystyle D = \frac{||\overrightarrow{PQ} \times \bold{u}||}{||\bold{u}||} = \frac{\sqrt{(2)^2 + (-11)^2 + (-7)^2}}{\sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (4)^2}}$

$\displaystyle D = \frac{\sqrt{174}}{\sqrt{29}} = \sqrt{\frac{174}{29}} = \sqrt{6}$

$\therefore D = \sqrt{6} \approx 2.4495$

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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