Planos en el espacio. Cálculo vectorial.

Introducción

Una ecuación de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y de un vector normal (perpendicular) al plano. En el plano contiene un punto $P({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1})$ y presenta un vector normal diferente de cero $\bold{n} = (a, b, c)$ . En este plano muestra todos los puntos Q(x,y,z) para que el vector $\overrightarrow{PQ}$ es ortogonal a $\bold{n}$ . Por lo tanto, la ecuación canónica o estándar de un plano en el espacio es la siguiente

$\bold{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$

$(a,b,c) \cdot (x-x_1, y-y_1, z-z_1) = 0$

$a(x - {x}_{1}) + b(y - {y}_{1}) + c(z - {z}_{1}) = 0$

Y su forma general de la ecuación de un plano en el espacio es

$ax + by + cz + d = 0$

Figura 1. Representación gráfica del vector normal a todo vector PQ en el plano.

Problema resuelto

Problema. Hallar la ecuación general que contiene los puntos (2,1,1), (0,4,1) y (-2,1,4).

Solución. Primero calcula el vector u en los puntos (2,1,1) y (0,4,1)

$\bold{u} = (0-2, 4-1, 1-1) = (-2, 3, 0)$

Luego se calcula el vector v por medio de los puntos (0,4,1) y (-2,1,4)

$\bold{v} = (-2-0, 1-4, 4-1) = (-2, -3, 3)$

Ahora, se resuelve por producto cruz para encontrar el vector normal utilizando los vectores anteriores (es decir, u y v)

$\bold{n} = \bold{u} \times \bold{v} = \left[ \begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & -3 & 3 \end{matrix} \right]$

$\bold{n} = (9\bold{i} + 0\bold{j} +6\bold{k}) - (-6\bold{k} + 0\bold{i} - 6\bold{j})$

$\therefore \bold{n} = 9\bold{i}+ 6\bold{j} + 12\bold{k} = (9, 6, 12)$

Finalmente, encontrando la ecuación general, primero, su expresión será una ecuación canónica teniendo el vector normal y el primer punto [es decir, (2,1,1)]

$a(x - {x}_{1}) + b(y - {y}_{1}) + c(z - {z}_{1}) = 0$

$9(x - 2) + 6(y - 1) + 12(z - 1) = 0$

Finalmente

$9(x - 2) + 6(y - 1) + 12(z - 1) = 0$

$9x - 18 + 6y - 6 + 12z - 12 = 0$

$9x + 6y + 12z - 36 = 0$

$3x + 2y + 4z - 9 = 0$

La ecuación general es

$\therefore 3x + 2y + 4z - 9 = 0$

Publicado por Cesar Reyes

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