Ecuaciones paramétricas y cálculo. Cálculo vectorial.

Forma paramétrica de la derivada

Si una curva suave $C$ está dada por las ecuaciones $x=f(t)$ y $y=g(t)$ , entonces la pendiente de $C$ en $(x,y)$ es

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad , \quad \frac{dx}{dt} \ne 0$

Para la segunda

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[\frac{dy}{dx} \right] = \frac{\frac{d}{dt} \left[\frac{dy}{dx} \right]}{\frac{dx}{dt}}$

donde $\displaystyle \frac{dx}{dt} \ne 0$ . Y para la tercera derivada

$\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left[\frac{d^2 y}{dx^2} \right] = \frac{\frac{d}{dt} \left[\frac{d^2 y}{dx^2} \right]}{\frac{dx}{dt}}$

donde también $\displaystyle \frac{dx}{dt} \ne 0$

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ si $x = \sin{t}$ y $y = \cos{t}$ .

Solución. Derivando ambas ecuaciones paramétricas con respecto a $t$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (\sin{t}) = \cos{t}$ y $\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\cos{t}) = -\sin{t}$

Entonces, la derivada en forma paramétrica es

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = - \frac{\sin{t}}{\cos{t}} = - \tan{t}$

$\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx} = -\tan{t}$

Problemas resueltos: pendiente y concavidad

Problema 2. Hallar la pendiente y concavidad mediante las siguientes ecuaciones paramétricas $\displaystyle x = \sqrt{t}$ y $\displaystyle y = \frac{1}{4} (t^2 - 4)$ para $t \ge 0$ y en el punto $(2,3)$

Solución. Primero se calcula el valor de $t$ por medio de las dos ecuaciones brindadas por el problema. De la ecuación $x$ , se despeja $t$

$\displaystyle x = \sqrt{t}$

$t = x^2$

Cuando $x=2$ se tiene un valor de $t$ y es

$t = x^2$

$t = 2^2 = 4$

De la ecuación $y$ , también se despeja $t$

$\displaystyle y = \frac{1}{4} (t^2 - 4)$

$4y = t^2 - 4$

$t^2 - 4 = 4y$

$\displaystyle t = \sqrt{4y + 4}$

Cuando $y=3$ se tiene un valor de $t$ y es

$t = \sqrt{4(3) + 4}$

$t = \sqrt{12+4}$

$t = \sqrt{16} = 4$

Derivando la función $x$ con respecto a al parámetro $t$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{1}{4} (t^2 - 4)]$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{4} (2t)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} t = \frac{t}{2}$

También se deriva la función $y$ con respecto a al parámetro $t$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\sqrt{t})$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$

Tomando la fórmula de la forma paramétrica de la primera derivada, se sustituyen los resultados obtenidos anteriormente

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{t}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = \frac{t(2\sqrt{t})}{(2)(1)}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = t\sqrt{t} = t^1 {t}^{\frac{1}{2}} = {t}^{(1 + \frac{1}{2})}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {t}^{\frac{3}{2}}$

Para obtener el valor de la pendiente tangente se toma el valor de $t$ obtenido anteriormente y se reemplaza en el resultado de la derivada

$\displaystyle {m}_{tan} = {\frac{dy}{dx}}_{t=4)}$

$\displaystyle {m}_{tan} = {4}^{\frac{3}{2}}$

${m}_{tan} = 8$

Para obtener la concavidad, se calcula la segunda derivada del resultado obtenido en la primera derivada

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt} [\frac{dy}{dx}]}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d}{dt} [{t}^{\frac{3}{2}}]}{\frac{d}{dt} [\sqrt{t}]}$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2} {t}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = \frac{3{t}^{\frac{1}{2}} (2\sqrt{t})}{(2)(1)}$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{3\sqrt{t} (2\sqrt{t})}{2)(1)} = 3\sqrt{t} \sqrt{t} = 3t$

Tomando el valor de $t$ , verificará si la concavidad tiene forma hacia arriba o hacia abajo (dependiendo del signo)

$\displaystyle {\frac{d^2 y}{dx^2}}_{t=4} = 3(4)$

$\displaystyle {\frac{d^2 y}{dx^2}}_{t=4} = 12>0$

Y se concluye que la concavidad va hacia arriba.

Problemas resueltos: una curva con dos rectas tangentes en un punto

Problema 3. Encontrar las rectas tangentes en una curva dada mediante las ecuaciones paramétricas $x = 2t - \pi \sin{t}$ y $y = 2 - \pi \cos{t}$ para el punto (0,2).

Solución. De la ecuación $y$ , se despeja el parámetro $t$

$y = 2 - \pi \cos{t}$

$y - 2 = - \pi \cos{t}$

$\displaystyle {y-2}{-\pi} = \cos{t}$

$\displaystyle - \frac{y-2}{\pi} = \cos{t}$

$\displaystyle \cos{t} = - \frac{y-2}{\pi}$

$\displaystyle t = \arccos{(-\frac{y-2}{\pi})}$

Cuando $y=2$ , el valor de $t$ es

$\displaystyle t = \arccos{(- \frac{2-2}{\pi})}$

$\displaystyle t = \arccos{(\frac{0}{\pi})}$

$t = \arccos{0} = 90$ °

$\displaystyle \therefore t = \pm \frac{\pi}{2}$

Ahora se derivan las ecuaciones paramétricas $x$ y $y$ con respecto a $t$ .

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2 - \pi \cos{t})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\pi (-\sin{t})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \pi \sin{t}$

Y también

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (2t - \pi \sin{t})$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2 - \pi \cos{t}$

Sustituyendo en la forma paramétrica de la primera derivada, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\pi \sin{t}}{2 - \pi \cos{t}}$

Utilizando el valor positivo de $t$ (es decir, $t=2$ ), se tiene el valor de la primera pendiente

$\displaystyle {m}_{1} = {\frac{dy}{dx}}_{t = \frac{\pi}{2}} = \frac{\pi \sin{\frac{\pi}{2}}}{2 - \pi \cos{\frac{\pi}{2}}}$

$\displaystyle \therefore {m}_{1} = \frac{\pi}{2}$

Y tomando el valor negativo de $t$ , da como resultado el valor de la segunda pendiente

$\displaystyle {m}_{2} = {\frac{dy}{dx}}_{t = - \frac{\pi}{2}} = \frac{\pi \sin{(-\frac{\pi}{2})}}{2 - \pi \cos{(-\frac{\pi}{2})}}$

$\displaystyle \therefore {m}_{2} = - \frac{\pi}{2}$

Así que los valores de las pendientes son $\displaystyle {m}_{1} = \frac{\pi}{2}$ y $\displaystyle {m}_{2} = - \frac{\pi}{2}$ . Con estos valores, ya es posible calcular las ecuaciones de la recta. Teniendo $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ y el punto $(0,2)$ , se toma la fórmula de la ecuación punto y pendiente. Para $\displaystyle m_1 = \frac{\pi}{2}$ , la primera expresión es