Área de una superficie en revolución. Cálculo vectorial.

Introducción

Si una curva suave $C$ dada por $x=f(t)$ y $y=g(t)$ no se corta a sí misma en un intervalo $a \le t \le b$ , entonces el área $S$ de la superficie de revolución generada por rotación de $C$ , en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por:

$\displaystyle {S}_{x} = 2\pi \int_{a}^{b}{g(t) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

revolución en torno al eje $x$ .

$\displaystyle {S}_{y} = 2\pi \int_{a}^{b}{f(t)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

revolución en torno al eje $y$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de cada uno de los ejes dados: $x = 2t$ , $y=3t$ , $0 \le t \le 3$ para a) eje $x$ , b) eje $y$ .

Solución. Primero se identifica las funciones $f(t)$ y $g(t)$ .

$f(t) = x = 2t$ y $g(t) = y = 3t$

Después, se determina sus primeras derivadas con respecto a $t$ .

Del intervalo $0 \le t \le 3$ , se observa que $a=0$ y $b=3$ .

Del a) eje $x$ , se realiza la sustitución para este inciso.

$\displaystyle {S}_{x} = 2\pi \int_{a}^{b}{g(t) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{x} = 2\pi \int_{0}^{3}{3t \ \sqrt{\left(2 \right)^2 + \left(3 \right)^2} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{x} = 2\pi \int_{0}^{3}{3t \ \sqrt{4 + 9} \ dt} = 2\pi \int_{0}^{3}{3t \ \sqrt{13} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{x} = 6 \sqrt{13} \pi \int_{0}^{3}{t \ dt} = 6 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} t^2 + C \right]_{0}^{3}$

$\displaystyle {S}_{x} = 6 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} {(3)}^2 - \frac{1}{2} {(0)}^2 \right] = 6 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} (9) \right]$

$\displaystyle \therefore {S}_{x} = 27 \sqrt{13} \pi \ \text{u}^2$

Del b) eje $y$ , se realiza la sustitución para este inciso.

$\displaystyle {S}_{y} = 2\pi \int_{a}^{b}{f(t)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{y} = 2\pi \int_{0}^{3}{2t \ \sqrt{\left(2 \right)^2 + \left(3 \right)^2} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{y} = 2\pi \int_{0}^{3}{2t \ \sqrt{4 + 9} \ dt} = 2\pi \int_{0}^{3}{2t \ \sqrt{13} \ dt}$

$\displaystyle {S}_{y} = 4 \sqrt{13} \pi \int_{0}^{3}{t \ dt} = 4 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} t^2 + C \right]_{0}^{3}$

$\displaystyle {S}_{y} = 4 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} {(3)}^2 - \frac{1}{2} {(0)}^2 \right] = 4 \sqrt{13} \pi \left[ \frac{1}{2} (9) \right]$

$\displaystyle \therefore {S}_{y} = 18 \sqrt{13} \pi \ \text{u}^2$

Problema 2. Hallar el área de una superficie de revolución de la siguiente ecuación

$x^2 + y^2 = 9$

que va desde (3,0) hasta $\displaystyle \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$ en el eje $x$ .

Solución. La ecuación general se debe transformar en una ecuación canónica

$x^2 + y^2 = 9$

$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$

$\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$

El término $\displaystyle \frac{x}{3}$ es equivalente a un término trigonométrico, que es $\cos{\theta}$ . Despejando $x$ y derivándolo con respecto a θ, resulta

$\displaystyle \frac{x}{3} = \cos{\theta}$

$x = 3 \cos{\theta}$

$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = -3 \sin{\theta}$

El término $\displaystyle \frac{y}{3}$ también tiene un término trigonométrico y es $\sin{\theta}$ . Despejando $y$ y derivándolo con respecto a θ, resulta

$\displaystyle \frac{y}{3} = \sin{\theta}$

$y = 3 \sin{\theta}$

$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 3 \cos{\theta}$

Ahora, se requiere obtener el primer valor de $\theta$ . Del punto $(3,0)$ , se tiene $x=3$ y $y=0$ . Tomando la primera ecuación paramétrica, el valor de x=3 y despejando $\theta$ , se tiene que

$x = 3 \cos{\theta}$

$3 = 3 \cos{\theta}$

$1 = \cos{\theta}$

$\arccos{1} = \theta$

$\theta = 0$

Y para obtener el segundo valor de $\theta$ se toma el punto $\displaystyle \left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$ , donde $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ y $\displaystyle y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ . Tomando la segunda ecuación paramétrica y despejando $\theta$ , resulta que

$y = 3 \sin{\theta}$

$\displaystyle \frac{3}{2} = 3 \sin{\theta}$

$\displaystyle \frac{1}{2} = \cos{\theta}$

$\displaystyle \arccos{\left( \frac{1}{2} \right)} = \theta$

$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$

Así que se tienen los valores $\theta = 0$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$ . De estos valores y tomando los resultados de las derivadas de las ecuaciones paramétricas, se sustituye en la fórmula para determinar el área de la superficie

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{a}^{b}{g(t) \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt}$

Cambiando la variable $t$ por θ

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{a}^{b}{g(\theta) \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \ d\theta}$

Continuando

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{3 \sin{\theta} \sqrt{(-3 \sin{\theta})^2+(3 \cos{\theta})^2} \ d\theta}$

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{3 \sin{\theta} \sqrt{9 {\sin}^{2}{\theta} + 9 {\cos}^{2}{\theta}} \ d\theta}$

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{3 \sin{\theta} \sqrt{9({\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta})} \ d\theta}$

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{3 \sin{\theta} \sqrt{9} dt} = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{3(3)\sin{\theta} \ d\theta}$

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{9 \sin{\theta} d\theta} = 18\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\sin{\theta} \ d\theta}$

$\displaystyle S_x = 18\pi \left[ -\cos{\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle S_x = 18\pi \left[ -\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)} + \cos{0} \right] = 18\pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right)$

$\therefore S_x = 9\pi \ \text{u}^2$

Se concluye que el área de la superficie de la circunferencia es de 9π unidades cuadradas.

$\displaystyle x = 2t$	$\displaystyle y=3t$
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2t)$	$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (3t)$
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2$	$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3$

Área de una superficie en revolución. Cálculo vectorial.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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