Punto de corte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 1. Hallar el punto en que la línea tangente que traza a la curva $y=x^3 - 2$ en el (2,6), corta nuevamente la curva.

Imagen1 — *Figura 1.1.1 Representación gráfica del problema 1.*

Solución. Se deriva la función con respecto a la variable independiente, es decir con respecto a “x”.

$y={x}^{3} - 2$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left({x}^{3} - 2 \right)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ({x}^{3} ) - \frac{d}{dx} (2)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3{x}^{2} - 0$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3{x}^{2}$

Después, se calcula el valor de la derivada usando el punto (2,6).

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(2,6)} = 3{(2)}^{2}=3(4)=12$

$\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(2,6)} =12$

Este valor representa la pendiente de la línea tangente. Para conocer el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x:

$\displaystyle {m}_{tan} = 12$

$\displaystyle \tan {\alpha}= 12$

$\displaystyle \alpha = \arctan{(12)} = {\tan}^{-1}{(12)}$

$\displaystyle \therefore \alpha =85.24$ °

Imagen2 — *Figura 1.1.2 Representación de la recta tangente.*

Por geometría analítica, se utiliza la ecuación de punto y pendiente para obtener la línea recta.

$\displaystyle {m}_{tan}=\frac{y-{y}_{0}}{x - {x}_{0}}$

$\displaystyle 12=\frac{y - 6}{x - 2}$

Se despeja la variables “y”.

$\displaystyle 12 = \frac{y - 6}{x - 2}$

$\displaystyle \frac{y - 6}{x - 2}=12$

$y - 6=12(x - 2)$

$y - 6=12x - 24$

$y=6+12x-24$

$y=12x-18$

Finalmente, se obtiene el punto de corte al igualar las ecuaciones y reduciendo términos semejantes.

$y={x}^{3} - 2$

$12x - 18 = {x}^{3} - 2$

${x}^{3} - 2 - 12x + 18 = 0$

${x}^{3} - 12x + 16 = 0$

Para encontrar las raíces de esa ecuación se utiliza el método de Ruffini:

Imagen3 — *Tabla 1.1.1 Procedimiento del método de Ruffinni.*

El valor que se utilizó en este método es “x = – 4”. Entonces:

${x}^{3} - 12x + 16 = 0$

$(x+4)({x}^{2} - 4x + 4) = 0$

Factorizando el término cuadrático:

$(x+4)({x}^{2} - 4x + 4) = 0$

$(x+4)(x - 2)(x - 2)=0$

Al evaluar las tres raíces, se observa que:

Imagen4 — *Tabla 1.1.2 Evaluación de las funciones dadas por el problema utilizando los valores de «x» obtenidos.*

Por lo que, en la raíz “x = – 4” es el segundo punto de corte. Por lo tanto, se dice que la recta tangente a la curva vuelve a cortar en el punto:

$\therefore (x, y) = (-4, -66)$

Imagen5 — *Figura 1.1.3 Representación gráfica del siguiente punto.*

Publicado por Cesar Reyes

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