La montaña rusa. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 5. En una feria la montaña rusa sigue la forma $\displaystyle y = \frac{2}{2+x}$ , y en un momento dado el carro va descendiendo. Si el carro está en el punto (1, 2/3), calcular:

a) Cuanto debe avanzar para que su ángulo con la horizontal cambie en 10° su dirección.

b) Cuál será el cambio de dirección cuando se desplace horizontalmente una unidad de longitud.

Imagen22 — *Figura 1.5.1 Representación gráfica de la trayectoria de la montaña rusa.*

Solución. Primero se obtiene la derivada de esa función.

$\displaystyle y = \frac{2}{2+x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2}{2+x})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{(2+x) \frac{d}{dx} (2) - (2) \frac{d}{dx} (2+x)}{(2+x)^2} = \frac{(2+x) \frac{d}{dx} (2) - (2) \left[\frac{d}{dx} (2) + \frac{d}{dx} (x) \right]}{(2+x)^2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{(2+x)(0)-2(0+1)}{(2+x)^2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-2}{(2+x)^2}$

Si el carro está situado en el punto (1,2/3), su dirección es (a partir de la pendiente):

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{(2+x)^2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(1, \frac{2}{3})} = - \frac{2}{(2+1)^2} = - \frac{2}{3^2} = - \frac{2}{9}$

$\displaystyle {m}_{tan} = - \frac{2}{9}$

$\tan{\alpha} = {m}_{tan}$

$\alpha = \arctan{(-\frac{2}{9})}$

$\alpha = - 12.53$ °

Como este ángulo es negativo, se observa que pertenece al segundo cuadrante, por lo que, convirtiendo este ángulo en positivo, solo basta con sumar 180° (por ángulos suplementarios).

${\alpha}_{1} = 180 - 12.53 = 167.47$ °

Del a), si el carro aumenta su ángulo con respecto la horizontal 10°:

$\beta = 10 + {\alpha}_{1}$

$\beta = 10 + 167.47$

$\beta = 177.47$ °

Luego, recordando el resultado de la derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{2}{(2+x)^2}$

Y asignando el punto $P({x}_{1},{y}_{1})$ :

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{1},{y}_{1})} = - \frac{2}{(2+{x}_{1})^2}$

$\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{1},{y}_{1})}$

$\tan{\beta} = {m}_{tan}$

$\displaystyle \tan{\beta} = - \frac{2}{(2+{x}_{1})^2}$

$\displaystyle \tan{177.47} = - \frac{2}{(2+{x}_{1})^2}$

$\displaystyle -0.044 = - \frac{2}{(2+{x}_{1})^2}$

$\displaystyle (2+{x}_{1})^2 = \frac{2}{0.044} = 45.455$

$\displaystyle 2 + {x}_{1} = \sqrt{45.455} = 6.742$

${x}_{1} = 6.742 - 2 = 4.742$

$\displaystyle {x}_{1} = 4.742$

Por lo tanto, el carro deberá avanzar 4.742 unidades.

Del b), si el carro avanza una unidad de longitud, el punto en que estaba situado será de (1, 2/3) a (2, 2/3). Al tomar este nuevo punto, se calcula la dirección a partir del resultado de la derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{2}{(2+x)^2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(2, \frac{2}{3})} = - \frac{2}{(2+2)^2} = - \frac{2}{4^2} = - \frac{2}{16}$

$\displaystyle {m}_{tan} = - \frac{2}{16}$

$\displaystyle \tan{\theta} = {m}_{tan} = - \frac{2}{16}$

$\displaystyle \theta = \arctan{(- \frac{2}{16})} = -7.13$ °

Este ángulo es negativo debido a que está en el segundo cuadrante. Para conocer el ángulo restante (por teorema de ángulos suplementarios) se lleva a cabo una diferencia:

${\theta}_{1} = 180 - 7.13 = 172.87$ °

Si se desea conocer cuanto es el cambio de dirección cada vez que el carro se desplaza horizontalmente, se hace una diferencia de ángulos (asignando a gamma), usando el valor del ángulo cuando de x=2 y el valor del ángulo cuando x=1:

$\gamma = {\theta}_{1} - {\alpha}_{1}$