Problema 7. Se dispara desde el punto (1,0) un cohete que sigue una trayectoria

\displaystyle y = \frac{10 \ln{x}}{x}

Calcular:

a) El ángulo de partida con la horizontal.

b) La altura máxima alcanzada.

Imagen28
Figura 1.7.1 Representación gráfica de la trayectoria del cohete.

Solución. De la función dada por el problema, se calcula su derivada:

\displaystyle y = \frac{10 \ln{x}}{x}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{10 \ln{x}}{x})

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 10 \frac{d}{dx} (\frac{\ln{x}}{x})

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 10 \left[ \frac{x \frac{d}{dx} (\ln{x}) - \ln{x} \frac{d}{dx} (x)}{x^2} \right]

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 10 \left[ \frac{x (\frac{1}{x}) - (\ln{x})(1)}{x^2} \right]

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 10(\frac{1 - \ln{x}}{x^2})

Del a), para calcular el ángulo de disparo (el ángulo de partida), se utiliza el punto (1,0) y así obtener la pendiente y, después, su dirección:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 10( \frac{1 - \ln{x}}{x^2})

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(1,0)} = 10( \frac{1 - \ln{1}}{1^2}) = 10 = {m}_{tan}

\tan{\alpha} = {m}_{tan}

\tan{\alpha} = 10

\therefore \alpha = \arctan{(10)} = 84.29°

Por lo tanto, el cohete formó un ángulo de disparo de 84.29°.

Imagen29
Figura 1.7.2 Representación gráfica del ángulo de disparo del cohete.

Del b), para saber cual es la altura máxima alcanzada del cohete se dice que su trayectoria llegó, en algún momento, tener en dirección horizontal, por lo que el valor del mismo es de 0°, y así se determina la altura.

Imagen30
Figura 1.7.3 Representación gráfica del punto máximo que pasó el cohete.

\displaystyle \tan{\theta} = {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{1},{y}_{1})}

\displaystyle \tan{0} = 10( \frac{1 - \ln{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}^{2}})

\displaystyle 0 = 10( \frac{1 - \ln{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}^{2}})

\displaystyle \frac{1 - \ln{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}^{2}} = 0

Si {x}_{1} \ne 0:

1 - \ln{{x}_{1}} = 0{{x}_{1}}^{2}

1 - \ln{{x}_{1}} = 0

\ln{{x}_{1}} = 1

\ln{{x}_{1}} = \ln{e}

{x}_{1} = e

Este es el valor del eje horizontal, para el vertical:

\displaystyle y = \frac{10 \ln{x}}{x}

\displaystyle {y}_{1} = \frac{10 \ln{{x}_{1}}}{{x}_{1}}

\displaystyle {y}_{1} = \frac{10 \ln{e}}{e} = \frac{10(1)}{e} = \frac{10}{e}

\therefore {y}_{1} = 3.679

Por lo tanto, el cohete alcanzará una altura máxima de 3.679 unidades en el punto x1=2.718 unidades.

Imagen31
Figura 1.7.4 Representación gráfica del resultado final referente al punto máximo donde pasó el cohete.

 

 

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Publicado por Cesar Reyes

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