Problema 1. Hallar los ángulos de corte entre las funciones

y = 7 - 3x

\displaystyle y = \frac{4}{x^2}

Imagen1
Figura 2.1.1 Representación gráfica de las curvas «y=7-3x» y «y=4/x^2»

Solución. Estudiando los posibles puntos de corte:

y = 7 - 3x

\displaystyle \frac{4}{x^2} = 7 - 3x

4 = x^2 (7 - 3x)

4 = 7x^2 - 3x^3

3x^3 - 7x^2 + 4 = 0

Para resolver esto, se utiliza el método de Ruffini:

Imagen2
Figura 2.1.2 Procedimiento finalizado de Ruffini con «x=1»

Y se utilizó x=1, por lo que, la primera factorización queda de esta manera:

3x^3 - 7x^2 + 4 = 0

(x - 1)(3x^2 - 4x - 4) = 0

Resolviendo la segunda ecuación por fórmula general:

3x^2 - 4x - 4 = 0

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)}

\displaystyle x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}

\displaystyle {x}_{1} = 2 \quad y \quad {x}_{2} = - \frac{2}{3}

Entonces, la segunda factorización es:

(x - 1)(3x^2 - 4x - 4) = 0

(x - 1)(x - 2)(x + \frac{2}{3}) = 0

Los valores de x son “x = 1” “x = 2” y “x= -2/3”, al sustituir en cualquiera de las dos funciones del problema, se obtienen los valores de “y”:

Imagen3
Tabla 2.1.1 Evaluación de las funciones dadas por el problema utilizando los valores de «x» obtenidos.

Los puntos de corte son: A(1,4), B(2,1) y C(-2/3, 9).

Imagen4
Figura 2.1.3 Ubicación de los puntos de intersección existentes entre este par de funciones.

Después, obteniendo las derivadas de las funciones dadas por el problema:

y = f(x) = 7 - 3x

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (7-3x) = \frac{d}{dx} (7) - \frac{d}{dx} (3x) = 0 - 3(1)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = - 3

\displaystyle y =g(x) = \frac{4}{x^2} = 4{x}^{(-2)}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (4{x}^{(-2)}) = 4(-2 {x}^{(-3)}) = -8 {x}^{(-3)}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{8}{x^3}

En el punto A(1,4), las derivadas tendrá los siguientes valores:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -3

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(1,4)} = -3

\displaystyle \frac {dy}{dx} = - \frac{8}{x^3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(1,4)} = - \frac{8}{(1)^3} = -8

Imagen5

Ahora, la primera pendiente y dirección será (de acuerdo a la gráfica):

\displaystyle {m}_{tan_1} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(1,4)} = -8

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{tan_1}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

\displaystyle {\alpha}_{1} = \arctan{(-8)}

\displaystyle {\alpha}_{1} = 180 + \arctan{(-8)}

\displaystyle {\alpha}_{1} = 180 - 82.875°

{\alpha}_{1} = 97.125°

Y el valor de la segunda pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(1,4)} = -3

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

\displaystyle {\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(-3)}

{\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-3)}

{\alpha}_{2} = 180 - 71.565°

{\alpha}_{2} = 108.435°

Imagen6

Finalmente, usando el primer método:

\theta = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})} - \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

\theta = {\alpha}_2 - {\alpha}_{1}

\theta = 108.435 - 97.125°

\therefore \theta = 11.31°

Por lo tanto, el ángulo de corte para el punto A(1,4) es de 11.31°.

En el punto B(2,1), las derivadas tendrá los siguientes valores:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -3

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{B(2,1)} = -3

\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{8}{x^3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{B(2,1)} = - \frac{8}{(2)^3} = - \frac{8}{8} = -1

Imagen7

La primera pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{B(2,1)} = -3

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

{\alpha}_{1} = \arctan{(-3)}

{\alpha}_{1} = 180 + \arctan{(-3)}

{\alpha}_{1} = 180° – 71.565°

{\alpha}_{1} = 108.435°

Y la segunda pendiente y dirección serán:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{B(2,1)} = -1

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(-1)}

{\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-1)}

{\alpha}_{2} = 180 - 45°

{\alpha}_{2} = 135°

Imagen8

Finalmente, usando el primer método:

\theta = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})} - \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

\theta = 135 - 108.435°

\therefore \theta = 26.565°

Por lo tanto, el ángulo de corte para el punto B(2,1) es de 26.565°.

En el punto C(-2/3,9), las derivadas tendrá los siguientes valores:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -3

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(- \frac{2}{3},9)} = -3

\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{8}{x^3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(- \frac{2}{3},9)} = -\frac{8}{(- \frac{2}{3})^3} = - \frac{8}{- \frac{8}{27}} = 27

Imagen9

La primera pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(-\frac{2}{3},9)} = 27

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

{\alpha}_{1} = \arctan{(27)}

{\alpha}_{1} = 87.879°

Y la segunda pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(-\frac{2}{3},9)} = -3

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(-3)}

{\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-3)}

{\alpha}_{2} = 180 - 71.565°

{\alpha}_{2} = 108.435°

Imagen10

Finalmente, usando el primer método:

\theta = \arctan{({m}_{{tan}_{2}}} - \arctan{({m}_{{tan_1}}}

\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

\theta = 108.435 - 87.879°

\therefore \theta = 20.556°

Por lo tanto, el ángulo de corte para el punto C(-2/3,9) es de 20.556°.

 

Avatar de Desconocido

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

Deja un comentario

Este sitio utiliza Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.