Introducción

Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo \alpha \le \theta \le \beta. El área de la superficie generada por revolución de la gráfica de r=f(\theta), desde \theta = \alpha hasta \theta = \beta, alrededor de la recta indicada es la siguiente:

Cuando va alrededor del eje polar

\displaystyle S = 2\pi \int _{\alpha}^{\beta}{f(\theta) \sin{\theta} \sqrt{{[f(\theta)]}^{2} + {[{f}^{'}(\theta)]}^{2}}  d\theta}

Cuando va alrededor de la recta \displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}

\displaystyle S = 2\pi \int _{\alpha}^{\beta}{f(\theta) \cos{\theta} \sqrt{{[f(\theta)]}^{2} + {[{f}^{'}(\theta)]}^{2}} d\theta}

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de la curva r = 6 \cos{\theta} en torno al eje polar en el intervalo \displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Solución. Del intervalo \displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, se observa que \alpha = 0 y que \displaystyle \beta = \frac{\pi}{2}. Después, derivando una vez con respecto a \theta la curva, se tiene que

\displaystyle f(\theta) = r = 6 \cos{\theta}

\displaystyle f'(\theta) = - 6 \sin{\theta}

Realizando la sustitución, resulta que

\displaystyle S = 2\pi \int _{\alpha}^{\beta}{f(\theta) \sin{\theta} \sqrt{{[f(\theta)]}^{2} + {[{f}^{'}(\theta)]}^{2}} \ d\theta}

\displaystyle S = 2\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{(6 \cos{\theta}) \sin{\theta} \sqrt{{(6 \cos{\theta})}^{2} + {-6 \sin{\theta}}^{2}} \ d\theta}

\displaystyle S = 12\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} \sqrt{36 \cos^2{\theta} + 36 \sin^2{\theta}} \ d\theta}

Recordando que \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = 1, se tiene que

\displaystyle S = 12\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} \sqrt{36 (\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta})} \ d\theta}

\displaystyle S = 12\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} \sqrt{36 (1)} \ d\theta}

\displaystyle S = 12\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} \sqrt{36} \ d\theta}

\displaystyle S = 12\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} (6) \ d\theta}

\displaystyle S = 72\pi \int _{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta} \cos{\theta} \ d\theta}

\displaystyle S = 72\pi \left[\frac{1}{2} \sin^2{\theta} + C \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

\displaystyle S = 72\pi \left\{\left[\frac{1}{2} \sin^2{\frac{\pi}{2}} \right] - \left[\frac{1}{2} \sin^2{0} \right] \right\}

\displaystyle S = 72\pi \left\{\left[\frac{1}{2} { \left(\sin{\frac{\pi}{2}} \right)}^2 \right] - \left[\frac{1}{2} {(\sin{0})}^2 \right] \right\}

\displaystyle S = 72\pi \left\{\left[\frac{1}{2} {(1)}^2 \right] - \left[\frac{1}{2} {(0)}^2 \right] \right\}

\displaystyle S = 72\pi \left(\frac{1}{2} \right) = 36 \pi

Finalmente, el área encontrada es

\displaystyle \therefore S = 36 \pi \ \text{u}^2

Problema 2. Hallar el área de una superficie en revolución r = f(\theta) = \cos{\theta} alrededor de la recta \displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}.

Imagen1
Figura 1. Representación gráfica de la ecuación r = \cos{\theta}.

Solución. Se deriva la función en ambos miembros con respecto a la variable independiente

f(\theta) = \cos{\theta}

{f}^{'}(\theta) = -\sin{\theta}

Sustituyendo en la fórmula para el caso de que la ecuación gira alrededor de \theta = \frac{\pi}{2}

\displaystyle S = 2\pi \int _{\alpha}^{\beta}{f(\theta) \cos{\theta} \sqrt{{[f(\theta)]}^{2} + {[{f}^{'}(\theta)]}^{2}} \ d\theta}

\displaystyle S = 2\pi \int _{0}^{\pi}{\cos{\theta} \cos{\theta} \sqrt{{(\cos{\theta})}^{2} + {(-\sin{\theta})}^{2}} d\theta} = 2\pi \int _{0}^{\pi}{{\cos}^{2}{\theta} \sqrt{{cos}^{2}{\theta} + {\sin}^{2}{\theta}}  \ d\theta}

Recordando la identidad trigonométrica  \displaystyle {\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = {\cos}^{2}{\theta} + {\sin}^{2}{\theta} = 1, entonces

\displaystyle S = 2\pi \int _{0}^{\pi}{{\cos}^{2}{\theta} \sqrt{{\cos}^{2}{\theta} + {\sin}^{2}{\theta}}  \ d\theta} = 2\pi \int _{0}^{\pi}{{\cos}^{2}{\theta}\sqrt{1} \ d\theta} = 2\pi \int _{0}^{\pi}{{\cos}^{2}{\theta} \ d\theta}

\displaystyle S = 2\pi \int _{0}^{\pi}{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{2\theta})  d\theta}

\displaystyle S = 2\pi (\int _{0}^{\pi}{\frac{1}{2} d\theta} + \int _{0}^{\pi}{\frac{1}{2} \cos{2\theta} d\theta})

\displaystyle S = 2\pi (\frac{1}{2} \int _{0}^{\pi}{d\theta} + \frac{1}{2} \int _{0}^{\pi}{\cos{2\theta} d\theta})

\displaystyle S = 2\pi (\frac{1}{2})(\int _{0}^{\pi}{d\theta} + \int _{0}^{\pi}{\cos{2\theta} d\theta}) = \pi(\int _{0}^{\pi}{d\theta} + \int _{0}^{\pi}{\cos{2\theta} d\theta})

\displaystyle S = \pi \int _{0}^{\pi}{d\theta} + \pi \int _{0}^{\pi}{\cos{2\theta} d\theta}

Para la segunda integral, dentro de la función trigonométrica del coseno, se aplica el método de sustitución, donde se asigna z = 2\theta, luego, derivándolo con respecto a \theta y realizando los despejes adecuados

z = 2\theta

\displaystyle \frac{dz}{d\theta} =2

dz = 2 d\theta

\displaystyle \frac{dz}{2} = d\theta

\displaystyle d\theta = \frac{dz}{2}

Resolviendo la primera integral de manera directa y, al mismo tiempo, resolviendo la segunda integral aplicando el método de sustitución

\displaystyle S = \pi \int_{0}^{\pi}{d\theta} + \pi \int _{0}^{\pi}{\cos{2\theta} d\theta}

\displaystyle S = \pi \int _{0}^{\pi}{d\theta} + \pi \int _{0}^{\pi}{\cos{z} (\frac{dz}{2})} = \pi \int _{0}^{\pi}{d\theta} + \pi (\frac{1}{2}) \int _{0}^{\pi}{\cos{z} dz}

\displaystyle S = \pi \int _{0}^{\pi}{d\theta} + \frac{\pi}{2} \int _{0}^{\pi}{\cos{z} dz} = \pi \left[\theta \right]_{0}^{\pi} + \frac{\pi}{2} \left[\sin{z} \right]_{0}^{\pi}

S = \pi \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} + \frac{\pi}{2} \left[ \sin{2\theta} \right]_{0}^{\pi} = \pi (\pi - 0) + \frac{\pi}{2} (\sin{2\pi} - \sin{0})

\displaystyle S = {\pi}^{2} + \frac{\pi}{2} (0 - 0) = {\pi}^{2}

Finalmente, el área de la superficie es

\displaystyle \therefore S = {\pi}^{2} \ \text{u}^2

Avatar de Desconocido

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

Deja un comentario

Este sitio utiliza Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.