Derivación e integración de funciones vectoriales. Cálculo vectorial.

Derivada de una función vectorial

La derivada de una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ se define como:

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'} (t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\left[\frac{\overrightarrow{r}(t + \Delta t) - \overrightarrow{r}(t)}{\Delta t} \right]}$

para todo $t$ para el cual existe el límite. Si $\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(c)$ existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces $\overrightarrow{r}(t)$ es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales pueden extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

Derivación en funciones vectoriales

1.- Si $\overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j}$ , donde f y g son funciones derivables de $t$ , entonces:

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = {f}^{'}(t) \overrightarrow{i} + {g}^{'} (t) \overrightarrow{j}$ (En el plano)

2.- Si $\overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j} + h(t) \overrightarrow{k}$ , donde f, g y h son funciones derivables de t, entonces:

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = {f}^{'}(t) \overrightarrow{i} + {g}^{'}(t) \overrightarrow{j} + {h}^{'}(t) \overrightarrow{k}$ (En el espacio)

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la derivada de la siguiente función vectorial: $\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = t^2 \overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j}$ .

Solución. Se deriva en ambos miembros con respecto a $t$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = t^2 \overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \frac{d \overrightarrow{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (t^2 \overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j})$

$\displaystyle \frac{d \overrightarrow{r}(t)}{dt} = \left[\frac{d}{dt} (t^2) \right] \overrightarrow{i} + \left[\frac{d}{dt} (-4) \right] \overrightarrow{j}$

Por lo tanto

${\overrightarrow{r}}^{'} (t) = 2t \overrightarrow{i} - 0 \overrightarrow{j}$

Problema 2. Obtener la derivada de la siguiente función vectorial:

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \frac{1}{t} \overrightarrow{i} + \ln{t} \overrightarrow{j} + {e}^{2t} \overrightarrow{k}$

Solución. Se deriva en ambos miembros con respecto a $t$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \frac{1}{t} \overrightarrow{i} + \ln{t} \overrightarrow{j} + {e}^{2t} \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \frac{d \overrightarrow{r} (t)}{dt} = \left[\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t} \right) \right] \overrightarrow{i} + \left[\frac{d}{dt} (\ln{t}) \right] \overrightarrow{j} + \left[\frac{d}{dt} ({e}^{2t}) \right] \overrightarrow{k}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = -\frac{1}{t^2} \overrightarrow{i} + \frac{1}{t} \overrightarrow{j} + 2{e}^{2t} \overrightarrow{k}$

Problema 3. De la función vectorial

$\overrightarrow{r}(t) = \cos{t} \overrightarrow{i} + \sin{t}j + 2t \overrightarrow{k}$

Obtener:

a) ${\overrightarrow{r}}^{'}(t)$
b) ${\overrightarrow{r}}^{''}(t)$
c) $\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) {\overrightarrow{r}}^{''}(t)$
d) $\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \times {\overrightarrow{r}}^{''} (t)$

Solución. Se obtiene, primero, la primera derivada

$\overrightarrow{r}(t) = \cos{t} \overrightarrow{i} + \sin{t} \overrightarrow{j} + 2t \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \frac{d \overrightarrow{r}(t)}{dt} = \left[\frac{d}{dt} (\cos{t}) \right] \overrightarrow{i} + \left[\frac{d}{dt} (\sin\overrightarrow{t}) \right]\overrightarrow{j} + \left[\frac{d}{dt} (2t) \right] \overrightarrow{k}$

${\overrightarrow{r}}^{'} (t) = -\sin{t} \overrightarrow{i} + \cos{t} \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$

Luego, la segunda derivada:

${\overrightarrow{r}}^{'} (t) = -\sin{t} \overrightarrow{i} + \cos{t} \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \frac{d {\overrightarrow{r}}^{'}(t)}{dt} = \left[\frac{d}{dt} (-\sin{t}) \right] \overrightarrow{i} + \left[\frac{d}{dt} (\cos{t}) \right] \overrightarrow{j} + \left[\frac{d}{dt} (2) \right] \overrightarrow{k}$

${\overrightarrow{r}}^{''} (t) = -\cos{t} \overrightarrow{i} - \sin{t} \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}$

Solución a)

${\overrightarrow{r}}^{'} (t) = -\sin{t} \overrightarrow{i} + \cos{t} \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$

Solución b)

${\overrightarrow{r}}^{''} (t) = -\cos{t} \overrightarrow{i} - \sin{t} \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}$

Solución c)

${\overrightarrow{r}}^{'}(t) {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = (-\sin{t} \overrightarrow{i} + \cos{t} \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k})(-\cos{t} \overrightarrow{i} - \sin{t} \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k})$

${\overrightarrow{r}}^{'}(t) {\overrightarrow{r}}^{''} (t) = \sin{t} \cos{t} - \sin{t} \cos{t}$

$\therefore {\overrightarrow{r}}^{'}(t) {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = 0$

Solución d). Realizando el producto cruz

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \times {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ \-\sin{t}& \cos{t}& 2\\ -\cos{t}& -\sin{t} & 0\end{matrix} \right]$

${\overrightarrow{r}}^{'}(t) \times {\overrightarrow{r}}^{''}(t) =-2 \cos{t} \overrightarrow{j} + {\sin}^{2}{t} \overrightarrow{k} + {\cos}^{2}{t} \overrightarrow{k} + 2 \sin{t} \overrightarrow{i}$

Finalmente

$\therefore {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \times {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = 2 \sin{t} \overrightarrow{i} - 2 \cos{t} \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$

Problema 4. De una elipsoide $C$ y la función vectorial

${\overrightarrow{r}}(t) = (5 \cos{t} - \cos{5t}) \overrightarrow{i} + (5 \sin\overrightarrow{t} - \sin{5t}) \overrightarrow{j}$ , $0 \le t \le 2\pi$

Determinar la curva suave.

Solución. Se deriva una vez en ambos miembros con respecto a $t$

$\overrightarrow{r}(t) = (5 \cos{t} - \cos{5t}) \overrightarrow{i} + (5 \sin{t} - \sin{5t}) \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \frac{d \overrightarrow{r}(t)}{dt} = \left[\frac{d}{dt} (5 \cos{t} - \cos{5t}) \right] \overrightarrow{i} + \left[\frac{d}{dt} (5 \sin{t} - \sin{5t}) \right] \overrightarrow{j}$

${\overrightarrow{r}}^{'}(t) = (-5 \sin{t} + 5 \sin{5t}) \overrightarrow{i} + (5 \cos{t} - 5 \cos{5t}) \overrightarrow{j}$

Entonces, de este resultado

${\overrightarrow{r}}^{'}(t) = (-5 \sin{t} + 5 \sin{5t})\overrightarrow{i} + (5 \cos{t} - 5 \cos{5t}) \overrightarrow{j}$

Al hacer que ${\overrightarrow{r}}^{'}(t) = 0$ , se tomará primero, la función perteneciente a ${x}^{'}(t)$

${x}^{'}(t) = -5 \sin{t} + 5 \sin{5t}$

$0 = -5 \sin{t} + 5 \sin{5t}$

Para que ${x}^{'}(t) = 0$ , se dice que los valores de $t$ deben ser $t = 0, \pi, 2\pi$ .

Después, se toma la derivada perteneciente a $y^{'} (t)$

${y}^{'}(t) = 5\cos{t} - 5 \cos{5t}$

$0 = 5 \cos{t} - 5 \cos{5t}$

Para que ${y}^{'}(t) = 0$ , se dice que los valores de $t$ debe ser $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ .

Se concluye que $\displaystyle t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ son los valores de “t” para que ${\overrightarrow{r}}^{'}(t) = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}$

Por lo tanto, los intervalos son $\displaystyle (0, \frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \pi), (\pi, \frac{3\pi}{2}), (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ .

Propiedades de la derivada

Sean $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{u}$ funciones vectoriales derivables de t, f es una función real derivable de t y c es un escalar.

${D}_{t} [c \overrightarrow{r}(t)] = c {\overrightarrow{r}}^{'} (t)$
${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \pm \overrightarrow{u}(t)] = {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \pm \overrightarrow{u}^{'} (t)$
${D}_{t} [f(t) \overrightarrow{r}(t)] = f(t) \overrightarrow{r}^{'}(t) + \overrightarrow{r}(t) {f}^{'}(t)$
${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = \overrightarrow{r}(t) {\overrightarrow{u}}^{'}(t) + {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \overrightarrow{u}(t)$
${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{u}(t)] = \overrightarrow{r}(t) \times {\overrightarrow{u}}^{'} (t) + {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \times \overrightarrow{u}(t)$
${D}_{t} [\overrightarrow{r}[f(t)]] = {\overrightarrow{r}}^{'}[f(t)] {f}^{'} (t)$
Si $\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{r}(t) = c$ , entonces $\overrightarrow{r}(t) {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = 0$

Problemas resueltos

Problema 5. De las funciones vectoriales

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \frac{1}{t} \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \ln{t} \overrightarrow{k}$ y $\overrightarrow{u}(t) = t^2 \overrightarrow{i} - 2t \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$

Hallar

a) ${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)]$
b) ${D}_{t} [\overrightarrow{u}(t) \times {\overrightarrow{u}}^{'}(t)]$

Solución. Así que de las funciones vectoriales

Derivando ambas funciones con respecto a $t$

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = - \frac{1}{t^2} \overrightarrow{i} + 0 \overrightarrow{j} + \frac{1}{t} \overrightarrow{k}$ y $\displaystyle {\overrightarrow{u}}^{'}(t) = 2t \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}$

Solución a). Del inciso a), usando una de las propiedades de la derivada

${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = \overrightarrow{r}(t) {\overrightarrow{u}}^{'}(t) + {\overrightarrow{r}}^{'}(t) \overrightarrow{u}(t)$

$\displaystyle {D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = \left(\frac{1}{t} \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \ln{t} \overrightarrow{k} \right) \left(2t \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k} \right) + \left(-\frac{1}{t^2} \overrightarrow{i} + 0 \overrightarrow{j} + \frac{1}{t} \overrightarrow{k} \right) \left(t^2 \overrightarrow{i} - 2t \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \right)$

$\displaystyle {D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = \left(\frac{1}{t} \right)(2t) + (-1)(-2) + (\ln{t})(0) + \left(-\frac{1}{t^2} \right)(t^2) + (0)(-2) + \left(\frac{1}{t} \right)(1)$

${D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = 2 + 2 + 0 - 1 + 0 + \frac{1}{t}$

$\therefore {D}_{t} [\overrightarrow{r}(t) \overrightarrow{u}(t)] = 3 + \frac{1}{t}$

Solución b). Y del inciso b), nuevamente usando una de las propiedades de la derivada

$\displaystyle {D}_{t} [\overrightarrow{u}(t) \times \overrightarrow{u}^{'}(t)] = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ t^2& -2t& 1\\ 2t& -2& 0\end{matrix} \right]$

Resolviendo la matriz

${D}_{t} [\overrightarrow{u}(t) \times \overrightarrow{u}^{'}(t)] = {D}_{t} \left[2t \overrightarrow{j} - 2t^2 \overrightarrow{k} + 4t^2 \overrightarrow{k} - 2 \overrightarrow{i} \right]$

${D}_{t} [\overrightarrow{u}(t) \times \overrightarrow{u}^{'} (t)] = {D}_{t} \left[-2\overrightarrow{i} + 2t \overrightarrow{j} + 2t^2 \overrightarrow{k} \right]$

$\displaystyle \therefore {D}_{t} [\overrightarrow{u}(t) \times \overrightarrow{u}^{'}(t)] = 0\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 4t \overrightarrow{k}$

Integración de funciones vectoriales

1.- Si $\overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j}$ donde f y g son continuas en [a, b] entonces la integral indefinida (o antiderivada) de $\overrightarrow{r}$ es

$\displaystyle \int {\overrightarrow{r} \ dt} =\left[\int {f(t) \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int {g(t) \ dt} \right] \overrightarrow{j}$ (En el plano)

Y su integral definida en el intervalo $a \le t \le b$ es

$\displaystyle \int _{a}^{b}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[\int _{a}^{b}{f(t) dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int _{a}^{b}{g(t) dt} \right] \overrightarrow{j}$

2.- Si $\overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j} + h(t) \overrightarrow{k}$ donde f, g y h son continuas en $[a, b]$ entonces la integral indefinida (o antiderivada) de $\overrightarrow{r}$ es:

$\displaystyle \int {r \ dt} = \left[\int {f(t) \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int {g(t) \ dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int {h(t) \ dt} \right] \overrightarrow{k}$ (En el espacio)

Y su integral definida en el intervalo $a \le t \le b$ es

$\displaystyle \int _{a}^{b}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[\int _{a}^{b}{f(t) \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int _{a}^{b}{g(t) \ dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int _{a}^{b}{h(t) \ dt} \right] \overrightarrow{k}$

Problemas resueltos

Problema 6. Resolver $\displaystyle \int{(t \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j})dt}$ .

Solución.

$\displaystyle \int {(t \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}) \ dt} = \left[\int {t \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int {3 \ dt} \right] \overrightarrow{j}$

Por lo tanto

$\displaystyle \int {(t \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}) \ dt} = \left(\frac{t^2}{2} + C_1 \right) \overrightarrow{i} + \left(3t + C_2 \right) \overrightarrow{j}$

Problema 7. Resolver

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \int _{0}^{1}{\left(\sqrt [3]{t} \overrightarrow{i} + \frac{1}{t+1} \overrightarrow{j} + {e}^{-t} \overrightarrow{k} \right) \ dt}$

Solución.

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \int _{0}^{1}{\left[\sqrt [3]{t} \overrightarrow{i} + \left(\frac{1}{t+1} \right) \overrightarrow{j} + {e}^{-t} \overrightarrow{k} \right] \ dt}$

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[\int _{0}^{1}{\sqrt [3]{t} \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int _{0}^{1}{\frac{1}{t+1} \ dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int _{0}^{1}{{e}^{-t} \ dt} \right] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[\frac{{t}^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \overrightarrow{i} + \ln{(t+1)} \overrightarrow{j} - {e}^{-t} \overrightarrow{k} \right]_{0}^{1} = \left[(\frac{4}{3} {t}^{\frac{4}{3}}) \overrightarrow{i} + \ln{(t+1)} \overrightarrow{j} - {e}^{-t} \overrightarrow{k} \right]_{0}^{1}$

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[ \left(\frac{4}{3} {1}^{\frac{4}{3}} \right) \overrightarrow{i} + \ln{(1+1)} \overrightarrow{j} - {e}^{-1} \overrightarrow{k} \right] - \left[ \left(\frac{4}{3} {0}^{\frac{4}{3}} \right) \overrightarrow{i} + \ln{(0+1)} \overrightarrow{j} - {e}^{0} \overrightarrow{k} \right]$

$\displaystyle \int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt} = \left[\left(\frac{4}{3} \right) \overrightarrow{i} + \ln{2} \overrightarrow{j} - {e}^{-1} \overrightarrow{k} \right] - \left[0 \overrightarrow{i} + \ln{(1)} \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} \right]$

$\int _{0}^{1}{\overrightarrow{r}(t) \ dt}= \left(\frac{4}{3} \right)\overrightarrow{i} + \ln{2} \overrightarrow{j} - {e}^{-1} \overrightarrow{k} - (0) \overrightarrow{i} - \ln{(1)} \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \therefore \int _{0}^{1}{\left[\sqrt[3]{t} \overrightarrow{i} + \left(\frac{1}{t+1} \right) \overrightarrow{j} + {e}^{-t} \overrightarrow{k} \right] \ dt} = \frac{4}{3} \overrightarrow{i} + \ln{2} \overrightarrow{j} + (1-{e}^{-1}) \overrightarrow{k}$

Problema 8. Hallar la primitiva de la función vectorial

$\displaystyle {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = \cos{2t} \overrightarrow{i} - 2 \sin{t} \overrightarrow{j} + (\frac{1}{1+t^2}) \overrightarrow{k}$

Con la condición inicial $r(0) = 3 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ .

Solución.

$\displaystyle \int {{\overrightarrow{r}}^{'}(t) \ dt} = \int {\left[\cos{2t} \overrightarrow{i} - 2 \sin{t} \overrightarrow{j} + \left(\frac{1}{1+t^2} \right) \overrightarrow{k} \right] \ dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left[\int {\cos{2t} \ dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[-2 \int{\sin{t}} \ dt \right] \overrightarrow{j} + \left[\int {\frac{1}{1+t^2} \ dt} \right] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left(\frac{1}{2} \sin{2t} + {C}_{1} \right) \overrightarrow{i} + \left(2 \cos{t} + {C}_{2} \right) \overrightarrow{j} + \left(\arctan{t} + {C}_{3} \right) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left(\frac{1}{2} \sin{2t} + C_1 \right) \overrightarrow{i} + \left(2 \cos{t} + C_2 \right) \overrightarrow{j} + \left(\arctan{t} + C_3 \right) \overrightarrow{k}$

Si $\overrightarrow{r}(0) = 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ , con la finalidad de hallar las tres constantes de integración

$\displaystyle \overrightarrow{r}(0) = \left[\frac{1}{2} \sin{2(0)} + C_1 \right] \overrightarrow{i} + \left(2 \cos{0} + C_2 \right) \overrightarrow{j} + \left(\arctan{0} + C_3 \right) \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{r}(0) = \left(0 + C_1 \right) \overrightarrow{i} + \left(2 + C_2 \right) \overrightarrow{j} + \left(C_3 \right) \overrightarrow{k}$

$3 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} = \left(0 + C_1 \right) \overrightarrow{i} + \left(2 + C_2 \right) \overrightarrow{j} + (C_3) \overrightarrow{k}$

Aplicando igualación en cada término correspondiente de los vectores unitarios.

$C_1 = 3$ , $C_2 = -4$ , $C_3 = 1$

Por lo tanto

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left(\frac{1}{2} \sin{2t} + 3 \right)\overrightarrow{i} + \left(2 \cos{t} - 4 \right) \overrightarrow{j} + \left(\arctan{t} + 1 \right) \overrightarrow{k}$

Derivación e integración de funciones vectoriales. Cálculo vectorial.

Derivada de una función vectorial

Derivación en funciones vectoriales

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Propiedades de la derivada

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