Velocidad y aceleración. Segunda parte. Cálculo vectorial.

Obtener ecuaciones paramétricas y aproximaciones. Problemas resueltos.

Problema 1. Se da la gráfica de la función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ y un vector tangente a la gráfica en $t = t_0$ .

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left<t, -t^2, \frac{1}{4} t^3 \right>$ , $t_0=1$

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica en $t=t_0$ .

b) Utilizar las ecuaciones de la recta para aproximar $\overrightarrow{r} (t_0+0.1)$ .

3-4VELOCIDAD Y ACELERACIÓN - SEGUNDA PARTE — Figura *1 Representación gráfica de la función vectorial del problema 1.*

Solución. De la gráfica, se observa que el punto está en:

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left<t, -t^2, \frac{1}{4} t^3 \right> = t \overrightarrow{i} - t^2 \overrightarrow{j} + \frac{1}{4} t^3 \overrightarrow{k}$

Ahora, tomando el valor de $t$ (es decir, $t_0=1$ ), se sustituye en el vector posición:

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t_0=1) = (1) \overrightarrow{i} - (1)^2 \overrightarrow{j} + \frac{1}{4} (1)^3 \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{r}(t_0=1) = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \frac{1}{4} \overrightarrow{k}$

$x_1=1$ , $y_1=-1$ , $\displaystyle z_1 = \frac{1}{4}$

Para obtener el vector velocidad, solo basta con derivar una vez el vector posición:

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt} [t \overrightarrow{i} - t^2 \overrightarrow{j} + \frac{1}{4} t^3 \overrightarrow{k}]$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [\frac{d}{dt} (t)] \overrightarrow{i} - [\frac{d}{dt} (t^2 ) \overrightarrow{j}] + [\frac{1}{4} \frac{d}{dt} (t^3 )] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{i} - 2t \overrightarrow{j} + \frac{3}{4} t^2 \overrightarrow{k}$

Nuevamente se toma el valor de $t$ (es decir, $t_0=1$ ) y se sustituye en el vector velocidad:

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t_0=1) = \overrightarrow{i} - 2(1) \overrightarrow{j} + \frac{3}{4} (1)^2 \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(1) = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \frac{3}{4} \overrightarrow{k}$

Así que, los valores son $\displaystyle a=1,b=-2, c=\frac{3}{4}$ .

Solución a). Tomando las ecuaciones paramétricas

$x = x_1 + at$

$x = (1) + (1)t$

$x = 1 + t$

$y = y_1 + bt$

$y = (-1) + (-2)t$

$y = - 1 - 2t$

$z = z_1 + ct$

$\displaystyle z = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}t$

Por lo tanto

$x = 1 + t$

$y=-1-2t$

$\displaystyle z = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}t$

O también

$\displaystyle \therefore \left<1+t, -1-2t, \frac{1}{4} + \frac{3}{4}t \right>$

Solución b). Usando $0.1$ en cada ecuación paramétrica, comenzando con la ecuación paramétrica de $x$

$x = 1 + t$

$x = 1 + 0.1$

$x = 1.1$

Luego, con la ecuación paramétrica de $y$

$y = - 1 - 2t$

$y = -1 - 2(0.1)$

$y = -1 - 0.2$

$y = -1.2$

Y para la ecuación paramétrica de $z$

$\displaystyle z = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} t = 0.25 + 0.75t$

$z = 0.25 + 0.75(0.1)$

$z = 0.25 + 0.075$

$z = 0.325$

Así que

$\therefore x=1.1$ , $y=-1.2$ , $z=0.325$ .

O también

$\therefore \left<1.1, -1.2, 0.325 \right>$

Determinar los vectores velocidad y posición. Problemas resueltos.

Problema 2. Determinar vectores velocidad y posición y el instante $t=2$ para los siguientes datos:

$\overrightarrow{a}(t) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ ; $\overrightarrow{v}(0) = 0$ ; $\overrightarrow{r}(0) = 0$

Solución. Aquí se empieza por encontrar el vector velocidad a partir del vector aceleración:

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{a}(t)$

$d\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t) dt$

$\displaystyle \int {d \overrightarrow{v}} = \int {\overrightarrow{a}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int {\overrightarrow{a}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int{(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k})dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \left[\int {dt} \right] \overrightarrow{i} + \left[\int {dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int {dt} \right] \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{v}(t) = (t+C_1) \overrightarrow{i} + (t+C_2) \overrightarrow{j} + (t+C_3) \overrightarrow{k}$

Para $\overrightarrow{v}(0) = 0$ :

$\overrightarrow{v}(t) = (t+C_1) \overrightarrow{i} + (t+C_2) \overrightarrow{j} + (t+C_3) \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{v}(0) = (0+C_1) \overrightarrow{i} + (0+C_2) \overrightarrow{j} + (0+C_3) \overrightarrow{k}$

$0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = (0+C_1) \overrightarrow{i} + (0+C_2) \overrightarrow{j} + (0+C_3) \overrightarrow{k}$

Realizando la igualación en cada término del vector canónico

$0 = 0+C_1$

$C_1=0$

$0=0+C_2$

$C_2=0$

$0=0+C_3$

$C_3=0$

Y sustituyendo las constantes de integración en la función vector velocidad

$\overrightarrow{v}(t) = t \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j} + t \overrightarrow{k}$

Ahora, el siguiente procedimiento es para obtener el vector posición

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t)$

$d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t) dt$

$\displaystyle \int {d\overrightarrow{r}} = \int {\overrightarrow{v}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int {\overrightarrow{v}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int {(t \overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = [\int {t dt}] \overrightarrow{i} + [\int {t dt}] \overrightarrow{j} + [\int {t dt}] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (\frac{t^2}{2} + C_4) \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} + C_6) \overrightarrow{k}$

Si $\overrightarrow{r}(0) = 0$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (\frac{t^2}{2} + C_4) \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} + C_6) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(0) = (\frac{0^2}{2} + C_4) \overrightarrow{i} + (\frac{0^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{0^2}{2} + C_6)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{r}(0) = (0 + C_4) \overrightarrow{i} + (0 + C_5) \overrightarrow{j} + (0+C_6) \overrightarrow{k}$

$0 = (0+C_4) \overrightarrow{i} + (0+C_5) \overrightarrow{j} + (0+C_6) \overrightarrow{k}$

$0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = (0+C_4) \overrightarrow{i} + (0+C_5) \overrightarrow{j} + (0+C_6) \overrightarrow{k}$

Así que definitivamente, las constantes de integración son

$0=0+C_4$

$C_4=0$

$0=0+C_5$

$C_5=0$

$0=0+C_6$

$C_6=0$

Por lo tanto

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (\frac{t^2}{2}+C_4) \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2}+C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2}+C_6) \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{r}(t) = \frac{t^2}{2} \overrightarrow{i} + \frac{t^2}{2} \overrightarrow{j} + \frac{t^2}{2} \overrightarrow{k}$

Si $t=2$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \frac{t^2}{2} \overrightarrow{i} + \frac{t^2}{2} \overrightarrow{j} + \frac{t^2}{2} \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(2) = \frac{2^2}{2} \overrightarrow{i} + \frac{2^2}{2} \overrightarrow{j} + \frac{2^2}{2} \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(2) = \frac{4}{2} \overrightarrow{i} + \frac{4}{2} \overrightarrow{j} + \frac{4}{2} \overrightarrow{k}$

Finalmente

$\therefore \overrightarrow{r}(2) = 2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$

Problema 3. Determinar los vectores velocidad y posición en base a los siguientes datos

$\overrightarrow{a}(t) = t\overrightarrow{j} + t \overrightarrow{k}$ ; $\overrightarrow{v}(1) = 5\overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{r}(1) = 0$

Solución. Comenzamos con obtener el vector velocidad

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{a}(t)$

$d\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t) dt$

$\displaystyle \int {d \overrightarrow{v}} = \int {\overrightarrow{a}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int {(t \overrightarrow{j} + t \overrightarrow{k}) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int {(0\overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j} + t \overrightarrow{k}) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [0\int{dt}] \overrightarrow{i} + [\int {t dt}] \overrightarrow{j} + [\int {t dt}] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = (C_1) \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} + C_3) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2}+C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} + C_3) \overrightarrow{k}$

Para $\overrightarrow{v}(1) = 5\overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} + C_3) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(1) = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{1^2}{2}+C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{1^2}{2}+C_3) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(1) = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{2}+C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{2} + C_3) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle 5\overrightarrow{j} = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{2}+C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{2}+C_3) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle 0\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = C_1 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{2}+C_2) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{2}+C_3) \overrightarrow{k}$

De las ecuaciones, se despeja cada constante de integración para conocer su valor equivalente

$0=C_1$

$C_1=0$

$\displaystyle 5 = \frac{1}{2}+C_2$

$\displaystyle C_2=5- \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

$\displaystyle 0 = \frac{1}{2}+C_3$

$\displaystyle C_3=-\frac{1}{2}$

Reemplazando

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = 0\overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + \frac{9}{2}) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}) \overrightarrow{k}$

Ahora, se halla el vector posición a partir del vector velocidad

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t)$

$d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t) dt$

$\displaystyle \int {d\overrightarrow{r}} = \int {\overrightarrow{v}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int {[0 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + \frac{9}{2}) \overrightarrow{j} + (\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}) \overrightarrow{k}] dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = [0\int {dt}] \overrightarrow{i} + [\int {(\frac{t^2}{2} + \frac{9}{2}) dt}] \overrightarrow{j} + [\int {(\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}) dt}] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^3}{6} + \frac{9}{2} t + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^3}{6} - \frac{1}{2} t + C_6) \overrightarrow{k}$

Si $\overrightarrow{r}(1) = 0$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^3}{6} + \frac{9}{2} t + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^3}{6} - \frac{1}{2} t + C_6) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(1) = C_4 \overrightarrow{i} + [\frac{1^3}{6} + \frac{9}{2} (1) + C_5] \overrightarrow{j} + [\frac{1^3}{6} - \frac{1}{2} (1) + C_6] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(1) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{6} + \frac{9}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + C_6) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle 0 = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{6} + \frac{9}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + C_6) \overrightarrow{k}$

De estas ecuaciones

$\displaystyle 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{1}{6} + \frac{9}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + C_6) \overrightarrow{k}$

De los términos de vector $\overrightarrow{i}$ , se puede obtener el valor de $C_4$

$0 = C_4 \quad \rightarrow \quad C_4=0$

De los términos de vector $\overrightarrow{j}$ , se puede obtener el valor de $C_5$

$\displaystyle 0 = \frac{1}{6} + \frac{9}{2} + C_5$

$\displaystyle -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = C_5$

$\displaystyle C_5 = -\frac{1}{6} - \frac{9}{2} = - \frac{28}{6}$

$\displaystyle C_5 = - \frac{14}{3}$

De los términos de vector $\overrightarrow{k}$ , se puede obtener el valor de $C_6$

$\displaystyle 0 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + C_6$

$\displaystyle -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = C_6$

$\displaystyle C_6 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

$\displaystyle C_6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Por lo tanto

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^3}{6} + \frac{9}{2} t + C_5) \overrightarrow{j} + (\frac{t^3}{6} - \frac{1}{2} t + C_6) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 0 \overrightarrow{i} + (\frac{t^3}{6} + \frac{9}{2} t - \frac{14}{3}) \overrightarrow{j} + (\frac{t^3}{6} - \frac{1}{2} t + \frac{1}{3})\overrightarrow{k}$

Si $t=2$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 0\overrightarrow{i} + (\frac{t^3}{6} + \frac{9}{2} t - \frac{14}{3}) \overrightarrow{j} + (\frac{t^3}{6} - \frac{1}{2} t + \frac{1}{3}) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(2) = 0\overrightarrow{i} + [\frac{2^3}{6} + \frac{9}{2} (2) - \frac{14}{3}] \overrightarrow{j} + [\frac{2^3}{6} - \frac{1}{2} (2) + \frac{1}{3}] \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(2) = 0\overrightarrow{i} + \frac{17}{3} \overrightarrow{j} + \frac{2}{3} \overrightarrow{k}$

Velocidad y aceleración. Segunda parte. Cálculo vectorial.

Obtener ecuaciones paramétricas y aproximaciones. Problemas resueltos.

Determinar los vectores velocidad y posición. Problemas resueltos.

Publicado por Cesar Reyes

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