Derivadas parciales de primer orden para dos variables. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si $z = f(x,y)$ , las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones $\displaystyle {f}_{x}$ y $\displaystyle {f}_{y}$ definidas por

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}} = \frac{\partial f}{\partial x}$

$\displaystyle {f}_{y} (x, y) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{\frac{f(x, y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}} = \frac{\partial f}{\partial y}$

Siempre y cuando el límite exista.

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función

$f(x, y) = 3x - x^2 y^2 + 2x^3 y$

Solución.

Derivando parcialmente con respecto a “x” en ambos miembros

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x - x^2 y^2 + 2x^3 y)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x) - \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (2x^3 y)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 3 \frac{\partial}{\partial x} (x)-y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + 2y \frac{\partial}{\partial x} (x^3)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial f}{\partial x} = 3-2xy^2 + 6x^2 y$

Más tarde, derivando la función con respecto a “y” en ambos miembros

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x-x^2 y^2+2x^3 y)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x) - \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y^2 ) + \frac{\partial}{\partial y} (2x^3 y)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 3x \frac{\partial}{\partial y} (1) - x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + 2x^3 \frac{\partial}{\partial y} (y)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0-2x^2 y+2x^3$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial f}{\partial y} = -2x^2 y+2x^3$

Problema 2. Hallar y evaluar las derivadas parciales de la siguiente función

$\displaystyle f(x,y) = x{e}^{x^2 y}$

en el punto $(1, \ln{2})$ .

Solución.

Derivando parcialmente con respecto a “x” en ambos miembros

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial x} ({e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} \frac{\partial}{\partial x} (x)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = x(2xy{e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} (1)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x^2 y{e}^{x^2 y} + {e}^{x^2 y}$

Si $x=1$ y $y = \ln{2}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1, \ln{2})} = 2{(1)}^{2} (\ln{2}){e}^{{(1)}^{2} (\ln{2})} + {e}^{{(1)}^{2} (\ln{2})}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1, \ln{2})} = \ln{4} {e}^{\ln{2}} +{e}^{\ln{2}}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1, \ln{2})} = 2 \ln{4} + 2$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1, \ln{2})} = \ln{16} + 2$

Ahora, derivando la función con respecto a “y”

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial y} ({e}^{x^2 y})$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x({x}^{2} {e}^{x^2 y}) = x^3 {e}^{x^2 y}$

Si $x=1$ y $y = \ln{2}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {(1)}^{3} {e}^{{(1)}^{2} (\ln{2})}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {e}^{\ln{2}} = 2$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = 2$

Referencias bibliográficas

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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