Aplicaciones de las derivadas parciales de primer orden para dos variables. Cálculo vectorial.

Costo marginal. Problemas resueltos.

Problema 1. Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para inserción de una chimenea. La función de costo para producir x estufas autoestables y de y de inserción de una chimenea es:

$\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050$

a) Calcular los costos marginales $\displaystyle (\frac{\partial C}{\partial x}$ y $\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y})$ cuando $x=80$ y $y=20$ .

b) Cuando se requiera producción adicional, ¿qué modelo de estufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? ¿Cómo puede determinarse esto a partir del modelo de costo?

Solución.

Solución a). De la función:

$\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050$

Se deriva parcialmente con respecto a $x$ :

$\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (32\sqrt{xy}) + \frac{\partial}{\partial x} (175x) + \frac{\partial}{\partial x} (205y) + \frac{\partial}{\partial x} (1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = 32\sqrt{y} \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x}) + 175 \frac{\partial}{\partial x} (x) + 205y \frac{\partial}{\partial x} (1) + \frac{\partial}{\partial x} (1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = 32\sqrt{y} (\frac{1}{2\sqrt{x}}) + 175(1) + 205y(0) + 1050(0) = 16 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 175$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial C}{\partial x} = 16\sqrt{\frac{y}{x}} + 175$

Si $x=80$ y $y=20$

$\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{20}{80}} + 175$

$\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{1}{4}} + 175 = 16(\frac{1}{2}) + 175 = 8 + 175$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 183$

Y de la función, ahora se deriva parcialmente con respecto a $y$

$\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (32\sqrt{xy}) + \frac{\partial}{\partial y} (175x) + \frac{\partial}{\partial y} (205y) + \frac{\partial}{\partial y} (1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = 32\sqrt{x} \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{y}) + 175x \frac{\partial}{\partial y} (1) + 205 \frac{\partial}{\partial y} (y) + \frac{\partial}{\partial y} (1050)$

$\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = 32\sqrt{x} (\frac{1}{2\sqrt{y}}) + 175x (0) + 205(1) + 1050(0) = 16 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + 205$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial C}{\partial y} = 16\sqrt{\frac{x}{y}} + 205$

Si $x=80$ y $y=20$

$\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{80}{20}} + 205$

$\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{4} + 205 = 16(2) + 205 = 32 + 205$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 237$

Solución b). El modelo para insertar en la chimenea incrementar el costo en una porción mayor debido a que el coeficiente de y es de mayor magnitud que el coeficiente x.

Evaluación de un punto dado.

Problema 2. Hallar y evaluar las primeras derivadas parciales para la función $\displaystyle f(x,y) = x{e}^{x^2 y}$ en el punto $(1, \ln{2})$ .

Solución. Derivando parcialmente con respecto a “x”:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial x} ({e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} \frac{\partial}{\partial x} (x)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = x(2xy{e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} (1)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x^2 y{e}^{x^2 y} + {e}^{x^2 y}$

Si $x=1$ y $y = \ln{2}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = 2{(1)}^{2} (\ln{2}) {e}^{({(1)}^{2} \ln{2})} + {e}^{({(1)}^{2} \ln{2})}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = \ln{4} {e}^{\ln{2}} + {e}^{\ln{2}}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = 2 \ln{4} + 2$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = \ln{16} + 2$

Ahora, derivando la función con respecto a y

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial y} ({e}^{x^2 y})$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x(x^2 {e}^{x^2 y})$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x^3 {e}^{x^2 y}$

Si $x=1$ y $y = \ln{2}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {(1)}^{3} {e}^{{(1)}^{2} \ln{2}}$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {e}^{\ln{2}} = 2$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,\ln{2})} = 2$

Hallando pendientes en una superficie.

Problema 3. Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y.

a) $\displaystyle f(x, y) = -\frac{x^2}{2} - y^2 + \frac{25}{8}$ en el punto $\displaystyle (\frac{1}{2},1,2)$ .

Solución. Derivando la función con respecto a x

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{x^2}{2} -y^2 + \frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (\frac{25}{8})$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{2} (2x) - 0 + 0$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -x$

Si $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ , $y=1$ y $z = 2$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -\frac{1}{2}$

La cual es la pendiente en dirección de x. Más tarde, derivando la función con respecto a y

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{x^2}{2} -y^2 + \frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} (x^2) - \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} (0) - 2y + 0$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -2y$

Si $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ , $y=1$ y $z=2$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -2(1) = -2$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -2$

La cual es la pendiente en dirección de y.

b) $\displaystyle f(x, y) = 1-{(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2}$ en el punto $(1, 2, 1)$ .

Solución. Derivando parcialmente con respecto a x de la función brindada por el problema

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [1 - {(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2}]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (1) - \frac{\partial}{\partial x} [{(x-1)}^{2}] - \frac{\partial}{\partial x} [{(y-2)}^{2}] = 0 - 2(x-1) + 0$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2(x-1)$

Si $x=1$ , $y=2$ y $z=1$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,2,1)} = -2(1 - 1) = 0$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,2,1)} = 0$

La cual es la pendiente en dirección de x.

Derivando parcialmente con respecto a y

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [1 - {(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2}]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (1) - \frac{\partial}{\partial y} [{(x-1)}^{2}] - \frac{\partial}{\partial y} [{(y-2)}^{2}] = 0 + 0 - 2(y - 2)$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -2(y - 2)$

Si $x=1$ , $y=2$ y $z=1$

$\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,2,1)} = -2(2 - 2) = 0$

$\therefore {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,2,1)} = 0$

La cual es la pendiente en dirección de y.

Tasas o ritmos de cambio.

Problema 4. El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y la entre los que se forma un ángulo $\theta$ está dada por $A = ab \sin{\theta}$ .

a) Hallar la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de a si $a=10$ , $b=20$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ .

b) Calcular la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de $\theta$ si $a=10$ , $b=20$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ .

Solución a). Del área del paralelogramo

$A = ab \sin{\theta}$

Se deriva parcialmente con respecto a “a”

$\displaystyle \frac{\partial A}{\partial a} = \frac{\partial}{\partial a} (ab \sin{\theta}) = (b \sin{\theta}) \frac{\partial}{\partial a} (a)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial A}{\partial a} = b \sin{\theta}$

Si $a=10$ , $b=20$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$

$\displaystyle {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta = \frac{\pi}{6})} = 20 \sin{\frac{\pi}{6}} = 20(\frac{1}{2}) = 10$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta = \frac{\pi}{6})} = 10$

Solución b). Utilizando nuevamente el área del paralelogramo

$A = ab \sin{\theta}$

Se deriva parcialmente con respecto a “ $\theta$ ”

$\frac{\partial A}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} (ab \sin{\theta}) = (ab) \frac{\partial}{\partial a} (\sin{\theta})$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial A}{\partial a} = ab \cos{\theta}$

Si $a=10$ , $b=20$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$

$\displaystyle {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta=\frac{\pi}{6})} = (10)(20) \cos{\frac{\pi}{6}} = 200(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 100\sqrt{3}$

$\displaystyle \therefore {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta=\frac{\pi}{6})} = 100\sqrt{3}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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