Derivadas parciales de primer orden para tres variables. Cálculo vectorial.

Introducción.

De la función

$w = f(x, y, z)$

La derivada parcialmente con respecto a x es

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = {f}_{x} (x, y, z)$

La derivada parcialmente con respecto a y es

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = {f}_{y} (x, y, z)$

La derivada parcialmente con respecto a z es

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = {f}_{z} (x, y, z)$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función

$\displaystyle f(x, y, z) = xy + y{z}^{2} + xz$

Solución. Entonces

$f(x, y, z) = xy + y{z}^{2} + xz$

$w = xy + y{z}^{2} + xz$

Derivando parcialmente con respecto a x

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy + yz^2 + xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy) + \frac{\partial}{\partial x} (yz^2) + \frac{\partial}{\partial x} (xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = y \frac{\partial}{\partial x} (x) + yz^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + z \frac{\partial}{\partial x} (x)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial w}{\partial x} = y + z$

Derivando parcialmente con respecto a y

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy + yz^2 + xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy) + \frac{\partial}{\partial y} (yz^2) + \frac{\partial}{\partial y} (xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = x \frac{\partial}{\partial y} (y) + z^2 \frac{\partial}{\partial y} (y) + xz \frac{\partial}{\partial y} (1)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial w}{\partial y} = x + z^2$

Derivando parcialmente con respecto a z

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xy + yz^2 + xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xy) + \frac{\partial}{\partial z} (yz^2) + \frac{\partial}{\partial z} (xz)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = xy \frac{\partial}{\partial z} (1) + y \frac{\partial}{\partial z} (z^2) + x \partial{\partial}{\partial z} (z)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial w}{\partial z} = 2yz + x$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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