Derivadas parciales de segundo orden para dos variables. Cálculo vectorial.

Igualdad de las derivadas parciales mixtas.

Si f es una función de x y y tal que $f_x$ y $f_y$ son continuas en un disco abierto $\Re$ , entonces, para todo $(x, y)$ en $\Re$ ,

${f}_{xy} (x,y) = {f}_{yx} (x,y)$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar las derivadas parciales de segundo orden para la siguiente función

$f(x, y) = 3x{y}^{2} - 2y + 5{x}^{2}{y}^{2}$

Y valor para ${f}_{xy} (-1, 2)$ .

Solución.

Entonces de la función

$f(x, y) = 3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2$

Derivando parcialmente con respecto a x

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2)$

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2y) + \frac{\partial}{\partial x} (5x^2 y^2)$

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x) - 2y \frac{\partial}{\partial x} (1) + 5y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x^2)$

${f}_{x} (x, y) = 3y^2 + 10xy^2$

Derivando parcialmente con respecto a y

$\displaystyle {f}_{y} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2)$

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial y} (2y) + \frac{\partial}{\partial y} (5x^2 y^2)$

$\displaystyle {f}_{x} (x, y) = 3x \frac{\partial}{\partial y} (y^2) - 2 \frac{\partial}{\partial y} (y) + 5x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2)$

${f}_{y} (x, y) = 6xy - 2 + 10x^2 y$

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a x, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x

$\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial x^2}$

$\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3y^2 + 10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + 10y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x)$

${f}_{xx} (x, y) = 10y^2$

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a x, ahora se deriva parcialmente con respecto a y

$\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (3y^2 + 10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (3y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = 3 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + 10x \frac{\partial}{\partial y} (y^2)$

${f}_{xy} (x, y) = 6y + 20xy$

Del segundo resultado de la función derivado parcialmente con respecto a y, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x

$\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (6xy-2+10x^2 y)$

$\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (6xy) - \frac{\partial}{\partial x} (2) + \frac{\partial}{\partial x} (10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = 6y \frac{\partial}{\partial x} (x) - \frac{\partial}{\partial x} (2) + 10y \frac{\partial}{\partial x} (x^2)$

${f}_{yx} (x, y) = 6y + 20xy$

Y utilizando nuevamente el segundo resultado, es decir, la función derivado parcialmente con respecto a y, ahora se parcialmente con respecto a y

$\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (6xy - 2 + 10x^2 y)$

$\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (6xy) - \frac{\partial}{\partial y} (2) + \frac{\partial}{\partial y} (10xy^2)$

$\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = 6x \frac{\partial}{\partial y} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (2) + 10x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y)$

${f}_{yy} (x, y) = 6x + 10x^2$

Así que los resultados son

Imagen1

Y para ${f}_{xy} (-1, 2)$

${f}_{xy} (x, y) = 6y + 20xy$

${f}_{xy} (-1, 2) = 6(2) + 20(-1)(2)$

${f}_{xy} (-1, 2) = 12 - 40$

$\therefore {f}_{xy} (-1, 2) = -28$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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