Aplicaciones de la diferenciabilidad. Cálculo vectorial.

Aproximaciones utilizando diferenciales. Problemas resueltos.

Problema 1. Utilizar la aproximación mediante diferenciales de la función $\displaystyle z = \sqrt{4-x^2-y^2}$ que se desplaza del (1, 1) al (1.01, 0.97).

Solución. Del primer punto mencionado

$(x, y) = (1, 1)$

E interpretando los incrementos del segundo punto

$(x+\Delta x, y+\Delta y) = (1.01, 0.97)$

Entonces, del incremento de “x” es

$x+\Delta x = 1.01$

$1+\Delta x = 1.01$

$\Delta x=1.01-1$

$\Delta x=0.01$

Y del incremento de “y” es

$y+\Delta y=0.97$

$1+\Delta y = 0.97$

$\Delta y=0.97-1$

$\Delta y = -0.03$

Ahora, derivando parcialmente la función z con respecto a “x”

$\displaystyle z = \sqrt{4-x^2-y^2}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{4-x^2-y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2-y^2}} (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$

Y con respecto a “y”

$\displaystyle z = \sqrt{4-x^2-y^2}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{4-x^2-y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2-y^2}} (-2y) = - \frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$

Sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de z

$\displaystyle dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$\displaystyle dz = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} dx - \frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}} dy$

Si $dz \approx \Delta z$

$\displaystyle \Delta z = - \frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} \Delta x - \frac{y}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} \Delta y$

Sustituyendo los valores obtenidos del problema

$\displaystyle \Delta z = -(\frac{1}{\sqrt{4 - {(1)}^{2} - {(1)}^{2}}}) (0.01) - (\frac{1}{\sqrt{4 - {(1)}^{2} - {(1)}^{2}}}) (-0.03)$

$\displaystyle \Delta z = -\frac{0.01}{\sqrt{4-2}} + \frac{0.03}{\sqrt{4-2}} = -\frac{0.01}{\sqrt{2}} + \frac{0.03}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-0.01+0.03)$

$\therefore \Delta z \approx 0.0141$

Y utilizando la siguiente fórmula

$\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y) = f(1.01, 0.97) - f(1, 1)$

$\Delta z = \sqrt{4 - {(1.01)}^{2} - {(0.97)}^{2}} - \sqrt{4-1^2-1^2} = \sqrt{2.039} - \sqrt{2}$

$\therefore \Delta z \approx 0.0137$

Análisis de errores. Problemas resueltos.

Problema 2. El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es $\pm 0.1$ milímetros Las dimensiones de la caja son x=50 centímetros, y=20 centímetros y z=15 centímetros. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

Solución. Utilizando la fórmula de la diferencial total para V:

$\displaystyle dV = \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz$

Y la fórmula para el volumen de la caja es:

$V = xyz$

Luego, derivando esta fórmula parcialmente con respecto a “x”

$\displaystyle \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xyz) = yz \frac{\partial}{\partial x} (x) = yz$

Con respecto a “y”

$\displaystyle \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xyz) = xz \frac{\partial}{\partial y} (y) = xz$

Y con respecto a “z”

$\displaystyle \frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xyz) = xy \frac{\partial}{\partial x} (z) = xy$

Regresando

$\displaystyle dV = \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz$

$dV = yz dx + xz dy + xy dz$

De los datos, se tiene x=50 cm, y=20 cm y z=15 cm y donde el error (haciendo referencia al incremento)

$error = dx = dy = dz = \pm 0.1 mm = \pm 0.01 cm$

Entonces, el error propagado es

$dV = yz dx + xz dy + xy dz$

$dV= (20)(15)(\pm 0.01) + (50)(15)(\pm 0.01) + (50)(20)(\pm 0.01) = \pm 3 \pm 7.5 \pm 10$

$dV = \pm 20.5 {cm}^{3}$

Y el volumen de la caja es

$V = xyz$

$V = (50)(20)(15)$

$V = 15 000 {cm}^{3}$

El error relativo es

$\displaystyle Error \quad relativo = \frac{\Delta V}{V} \times 100%$

$\displaystyle Error \quad relativo = \frac{20.5}{15,000} \times 100%$

$\therefore Error \quad relativo = 0.14 %$

Área de un rectángulo. Problemas resueltos.

Problema 3. El área del rectángulo sombreada en la figura es $A=lh$ . Los posibles error en la longitud y la altura son $\Delta l$ y $\Delta h$ . Hallar dA e identificar las regiones de la figura cuyas áreas están dadas en términos de dA. ¿Qué región representa la diferencia entre $\Delta A$ y dA?

Imagen1 — *Figura 4.10.1 Representación gráfica del área sombread de un rectángulo.*

Solución. El área del rectángulo sombreado es

$A = lh$

Derivando parcialmente con respecto a “l” y con respecto a “h”

$\displaystyle \frac{\partial A}{\partial l} = \frac{\partial}{\partial l} (lh) = h \frac{\partial}{\partial l} (l) = h$

$\displaystyle \frac{\partial A}{\partial h} = \frac{\partial}{\partial h} (lh) = l \frac{\partial}{\partial h} (h) = l$

Entonces, la diferencial total para A es

$\displaystyle dA = \frac{\partial A}{\partial l} dl + \frac{\partial A}{\partial h} dh$

$dA = h dl + l dh$

Imagen2 — *Figura 4.10.2 Resultado esperado donde se representan las regiones entre $\Delta A$ y dA.*

*Figura 4.10.2 Resultado esperado donde se representan las regiones entre $\Delta A$ y dA.*

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

Aplicaciones de la diferenciabilidad. Cálculo vectorial.

Publicado por Cesar Reyes

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