Regla de la cadena. Una variable independiente. Cálculo vectorial.

Introducción.

Sea $w = f(x,y)$ donde f es una función derivable de x y de y. Si $g(t) = x$ y $h(t) = y$ son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y:

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Aplicar la regla de la cadena con una variable independiente para:

$w = x^2 y - y^2$

Donde $x = \sin{t}$ y $\displaystyle y = e^t$ para $t=0$ .

Solución. Para llegar a la ecuación

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

Se necesita derivar los parámetros dados. Comenzamos con derivar la función «w» con respecto a “x”

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y - y^2)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x} (x^2 y) - \frac{\partial}{\partial x} (y^2) = y \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = 2xy$

Sustituyendo con las ecuaciones del problema

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = 2xy = 2(\sin{t})(e^t) = 2e^t \sin{t}$

Y derivando la ecuación «x» con respecto a «t»

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (\sin{t}) = \cos{t}$

Ahora, derivando la función «w» con respecto a “y”

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y - y^2) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y) - \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = x^2 \frac{d}{dy} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = x^2 - 2y$

Sustituyendo con las ecuaciones del problema

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = x^2 - 2y = {(\sin{t})}^2 - 2e^t$

Y derivando la ecuación «y» con respecto a «t»

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t) = e^t$

Regresando

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

Sustituyendo

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = (2e^t \sin{t})(\cos{t}) + ({\sin}^{2}{t} - 2 e^t)(e^t)$

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = 2e^t \sin{t} \cos{t} + e^t {\sin}^{2}{t} - 2{e}^{2t}$

Si $t=0$

$\displaystyle \frac{dw}{dt}{|}_{t=0} = 2e^0 \sin{0} \cos{0} + e^0 {\sin}^{2}{0} - 2e^0$

$\displaystyle \frac{dw}{dt}{|}_{t=0} = 2(0)(0)(1) + 0 - 2(1)$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \frac{dw}{dt}{|}_{t=0} = -2$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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