Otros problemas que aplican regla de la cadena. Cálculo vectorial.

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar las derivadas parciales por sustitución $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$ y $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}$ para $w=2xy$ donde $x=s^2+t^2$ y $\displaystyle y=\frac{s}{t}$ .

Solución.

Se sustituyen los parámetros x y y en la función w

$\displaystyle w = 2xy = 2(s^2+t^2)(\frac{s}{t}) = \frac{2s^3}{t} + 2st$

Derivando la nueva función w con respecto a s

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{d}{ds} (\frac{2s^3}{t} + 2st)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} (\frac{2s^3}{t}) + \frac{\partial}{\partial s} (2st)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{2}{t} \frac{\partial}{\partial s} (s^3) + 2t \frac{\partial}{\partial s} (s)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{2}{t} (3s^2) + 2t(1)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{6s^2}{t} + 2t$

Y derivando la nueva función w con respecto a t

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{d}{dt} (\frac{2s^3}{t} + 2st)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{2s^3}{t}) + \frac{\partial}{\partial t} (2st)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = 2s^3 \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{t}) + 2s \frac{\partial}{\partial t} (t) = 2s^3 (-\frac{1}{t^2}) + 2s(1)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = -\frac{2s^3}{t^2} + 2s$

Así que los resultados son

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{6s^2}{t} + 2t$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = -\frac{2s^3}{t^2} + 2s$

Regla de la cadena: dos variables independientes.

Sea $w=f(x, y)$ , donde f es una función diferenciable de x y y. Si $x=g(s, t)$ y $y=h(s,t)$ son tales que las derivadas parciales de primer orden, $\displaystyle {\partial x}{\partial s}$ , $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial t}$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial s}$ y $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}$ , existen, entonces $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$ y $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}$ existan y están dadas por

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}$

Regla de la cadena: derivación implícita.

Si la ecuación $F(x, y)=0$ define a y implícitamente como función derivable de x, entonces

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x (x, y)}{F_y (x,y)}$

Si la ecuación $F(x,y,z)=0$ define a z implícitamente como función diferenciable de x y y, entonces

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x (x,y,z)}{F_y (x,y,z)}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y (x,y,z)}{F_z (x,y,z)}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

Otros problemas que aplican regla de la cadena. Cálculo vectorial.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Otros problemas que aplican regla de la cadena. Cálculo vectorial.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta