Derivadas direccional. Cálculo vectorial.

Introducción.

Sea «f» una función de dos variables «x» y «y», y sea $\displaystyle \overrightarrow{u} = \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \sin{\theta} \overrightarrow{j}$ un vector unitario. Entonces la derivada direccional de «f» en la dirección de $\overrightarrow{u}$ que se denota ${D}_{\overrightarrow{u}} (f)$ es:

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x + t \cos{\theta}, y + t \sin{\theta}) - f(x, y)}{t}}$

Siempre que el límite exista.

Derivada direccional.

Si «f» es una función diferenciable de «x» y de «y«, entonces la derivada direccional de «f» en la dirección del vector unitario $\overrightarrow{u} = \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \sin{\theta} \overrightarrow{j}$ es:

${D}_{\overrightarrow{u}} f(x, y) = f_x (x,y) \cos{\theta} \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la derivada direccional para las siguientes funciones, coordenadas y direcciones:

a) $\displaystyle f(x,y) = 4-x^2-\frac{1}{4} y^2$ en (1,2) con dirección $\displaystyle \overrightarrow{u} = \cos{\frac{\pi}{3}} \overrightarrow{i} + \sin{\frac{\pi}{3}} \overrightarrow{j}$ .

Solución. Derivando la función con respecto de “x” y con respecto de “y”

$\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (4-x^2-\frac{1}{4} y^2) = \frac{\partial}{\partial x} (4) - \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - \frac{1}{4} y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) = -2x$

$\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (4-x^2-\frac{1}{4} y^2) = \frac{\partial}{\partial y} (4) - x^2 \frac{\partial}{\partial y} (1) - \frac{1}{4} \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = -\frac{1}{4} (2y) = -\frac{1}{2} y$

Sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = f_x (x,y) \cos{\theta} \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = -2x \cos{\theta} \overrightarrow{i} - \frac{1}{2} y \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

Sustituyendo en el punto (1, 2) y tomando que $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(1,2) = -2(1) \cos{\frac{\pi}{3}} - \frac{1}{2} (2) \sin{\frac{\pi}{3}}$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(1,2) = -2(1)(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

${D}_{\overrightarrow{u}} f(1,2) \approx -1.866$

b) $f(x,y)=x^2 \sin{2y}$ en $\displaystyle (1,\frac{\pi}{2})$ en la dirección $\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}$

Solución.

Derivando la función

$\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 \sin{2y}) = \sin{2y} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2x \sin{2y}$

$\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 \sin{2y}) = x^2 \frac{\partial}{\partial y} (\sin{2y}) = 2x^2 \cos{2y}$

Sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional

${D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = f_x (x,y) \cos{\theta} \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = (2x \sin{2y}) \cos{\theta} \overrightarrow{i} + (2x^2 \cos{2y}) \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

Antes de continuar

$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||} = \frac{3\overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j}}{\sqrt{{(3)}^{2} + {(-4)}^{2}}} = \frac{3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}}{\sqrt{9+16}}$

$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}}{\sqrt{25}} = \frac{3 \overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j}}{5} = \frac{3}{5} \overrightarrow{i} - \frac{4}{5} \overrightarrow{j}$

Comparando $\displaystyle \overrightarrow{u} = \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \sin{\theta} \overrightarrow{j} = \frac{3}{5} \overrightarrow{i} - \frac{4}{5} \overrightarrow{j}$

Se sabe que $\displaystyle \cos{\theta} = \frac{3}{5}$ y $\displaystyle \sin{\theta} = -\frac{4}{5}$

Regresando y sustituyendo en el punto $\displaystyle (1,\frac{\pi}{2})$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(1,\frac{\pi}{2}) = 2(1) \sin{2(\frac{\pi}{2})} (\frac{3}{5}) + 2{(1)}^{2} \cos{2(\frac{\pi}{2})} (-\frac{4}{5})$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(1,\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{3}{5})\sin{\pi} + 2(-\frac{4}{5}) \cos{\pi} = \frac{6}{5} (0) - \frac{8}{5} (-1)$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} f(1,\frac{\pi}{2}) = \frac{8}{5}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

Derivadas direccional. Cálculo vectorial.

Publicado por Cesar Reyes

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