Introducción.

Sea z=f(x,y) una función de «x» y «y» y tal que f_x y f_y existen. Entonces el gradiente de f, denotado por \nabla f(x,y), es el vector

\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{j}

\nabla f se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es grad f(x,y).

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar el gradientes de la siguiente función f(x,y) = y \ln{x} + xy^2 en el punto (1,2).

Solución. Derivando la función con respecto a «x»

\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (y \ln{x} + xy^2) = \frac{\partial}{\partial x} (y \ln{x}) + \frac{\partial}{\partial x} (xy^2)

\displaystyle f_x (x,y) = y \frac{\partial}{\partial x} (\ln{x}) + y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x)

f_x (x,y) = \frac{y}{x} + y^2

Y derivando la función con respecto a «y»:

\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (y \ln{x} + xy^2) = \frac{\partial}{\partial y} (y \ln{x}) + \frac{\partial}{\partial y} (xy^2)

\displaystyle f_y (x,y) = (\ln{x}) \frac{\partial}{\partial y} (y) + x \frac{\partial}{\partial y} (y^2)

f_y (x,y) = \ln{x} + 2xy

Entonces, sustituyendo en la fórmula del  gradiente

\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(x, y) = (\frac{y}{x} + y^2) \overrightarrow{i} + (\ln{x} + 2xy) \overrightarrow{j}

Tomando el punto (1,2)

\displaystyle \nabla f(1,2) = (\frac{2}{1} + {2}^{2}) \overrightarrow{i} + [\ln{1} + 2(1)(2)] \overrightarrow{j} = (2+4) \overrightarrow{i} + (0+4) \overrightarrow{j}

\therefore f(1,2) = 6 \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.
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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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