Forma alternativa de la derivada direccional. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si «f» es una función diferenciable de «x» y «y», entonces la derivada direccional de «f» en la direccional del vector unitario $\overrightarrow{u}$ es

${D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = f(x,y) \cdot \overrightarrow{u}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la derivada direccional usando $\nabla f(x,y)$ para $f(x,y) = 3x^2 - 2y^2$ en $\displaystyle P(-\frac{3}{4}, 0)$ a $Q(0,1)$ .

4-17FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL — *Figura 4.17.1 Representación gráfica de la función f(x,y)=3x^2 – 2y^2.*

Solución. Primero se debe tener el vector:

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{v}$

$\displaystyle \overrightarrow{v} = (0-(-\frac{3}{4})) \overrightarrow{i} + (1-0) \overrightarrow{j} = \frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

Y después, el vector unitario

$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} + {(1)}^{2}}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{9+16}{16}}}$

$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} (\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})$

$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{3}{5} \overrightarrow{i} + \frac{4}{5} \overrightarrow{j}$

Más tarde, derivando la función parcialmente

$\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2-2y^2) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2y^2)$

$\displaystyle f_x (x,y) = 3 \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - 2y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) = 3(2x) - 2y^2 (0)$

$\therefore f_x (x,y) = 6x$

$\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y^2) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y^2)$

$\displaystyle f_y (x,y) = 3x^2 \frac{\partial}{\partial y} (1) - 2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 3x^2 (0) - 2(2y)$

$\therefore f_y (x,y) = -4y$

Yendo a la fórmula del gradiente:

$\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{j}$

$\therefore \nabla f(x,y) = 6x \overrightarrow{i} - 4y \overrightarrow{j}$

Tomando en cuenta el valor del primer punto, es decir, $\displaystyle P(-\frac{3}{4},0)$

$\displaystyle \nabla f(-\frac{3}{4},0) = 6(-\frac{3}{4}) \overrightarrow{i} - 4(0) \overrightarrow{j} = -\frac{18}{4} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(-\frac{3}{4},0) = -\frac{9}{2} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}$

Y sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4},0) = \nabla f(-\frac{3}{4},0) \overrightarrow{u} = (-\frac{9}{2} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j})(\frac{3}{5} \overrightarrow{i} + \frac{4}{5} \overrightarrow{j})$

$\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4},0) = (-\frac{9}{2})(\frac{3}{5}) + (0)(\frac{4}{5}) = -\frac{27}{10} + 0$

$\displaystyle \therefore {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4}, 0) = -\frac{27}{10}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

Forma alternativa de la derivada direccional. Cálculo vectorial.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Forma alternativa de la derivada direccional. Cálculo vectorial.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta