Cuando el gradiente es normal. Cálculo vectorial.

Introducción.

El gradiente es normal a las curvas de nivel. Si «f» es diferenciable en $(x_0, y_0)$ y $\nabla f(x_0, y_0) \ne 0$ entonces $\nabla f(x_0, y_0)$ es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por $(x_0, y_0)$ .

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar un vector normal a una curva de nivel $f(x,y)=y - \sin{x}$ con $c=0$ .

Solución. A partir de la función

$f(x,y) = y - \sin{x}$

Igualándolo a cero

$0 = y - \sin{x}$

$\sin{x} = y$

$y = \sin{x}$

Ahora, derivando la función parcialmente con respecto a “x”

$\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (y - \sin{x}) = \frac{\partial}{\partial x} (y) - \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x}) = y \frac{\partial}{\partial x} (1) - \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x})$

$f_x (x,y) = -\cos{x}$

Y Con respecto a “y”

$\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (y - \sin{x}) = \frac{\partial}{\partial y} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (\sin{x}) = \frac{\partial}{\partial y} (y) - \sin{x} \frac{\partial}{\partial y} (1)$

$f_y (x,y) = 1$

Y del gradiente

$\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{i}$

$\nabla f(x,y) = -\cos{x} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

Se toman diversos valores de “x” y de “y” para concluir que $\nabla f(x,y)$ es normal a la curva de nivel en el punto (x,y). Entonces, algunos vectores gradiente son

$\nabla f(-\pi, 0) = -\cos{(-\pi)} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{(-\frac{2\pi}{3})} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(-\frac{\pi}{2},-1) = 0\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(-\frac{\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{(-\frac{\pi}{3})} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\nabla f(0, 0) = -\cos{0} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(\frac{\pi}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{\frac{\pi}{3}} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \nabla f(\frac{\pi}{2}, 1) = -\cos{\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = 0\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$

Imagen1 — *Figura 4.19.1 Representación gráfica de la superficie de la función f(x,y)=y-sen x.*

Imagen2 — *Figura 4.19.2 Representación gráfica de la curva de nivel cuando f(x,y)=0.*

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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