Plano tangente y recta normal.

Sea «F» diferenciable en un punto P(x_0, y_0, z_0) de la superficie S dada por F(x,y,z)=0 tal que \nabla F(x_0, y_0, z_0) \ne 0.

  1. Al plano que pasa por P y es normal a \nabla F(x_0, y_0, z_0) se le llama plano tangente a S a P.
  2. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de \nabla F(x_0, y_0, z_0) se le llama recta normal a S a P.

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar una ecuación de una recta normal a una superficie dada por xyz=12 en el punto (2,-2,-3).

Solución.

De la función, debe ser igualada a cero

xyz=12

xyz-12=0

F(x,y,z)=xyz-12

Imagen6
Figura 4.22.1 Representación gráfica de la superficie xyz=12.

Hallando sus derivadas parciales, con respecto a “x”

\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (xyz-12) = yz \frac{\partial}{\partial x}(x) - \frac{\partial}{\partial x} (12)

F_x (x,y,z) = yz

con respecto a “y”

\displaystyle F_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (xyz-12) = xz \frac{\partial}{\partial y} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (12)

F_y (x,y,z) = xz

Y con respecto a “z”

\displaystyle F_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (xyz-12) = xy \frac{\partial}{\partial z} (z) - \frac{\partial}{\partial z} (12)

F_z (x,y,z) = xy

Y tomando en cuenta el punto (2, -2, -3)

F_x (2,-2,-3) = (-2)(-3) = 6

F_y (2,-2,-3) = (2)(-3) = -6

F_z (x,y,z) = (2)(-2) = -4

Entonces, el gradiente es

\nabla F(x,y,z) = F_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + F_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + F_z (x,y,z) \overrightarrow{k}

\nabla F(2,-2,-3) = F_x (2,-2,-3) \overrightarrow{i} + F_y (2,-2,-3) \overrightarrow{j} + F_z (2,-2,-3) \overrightarrow{k}

\nabla F(2,-2,-3) = 6\overrightarrow{i} - 6 \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

Así que los directores son

a=6

b=-6

c=-4

Y también el punto (2, -2, -3), las ecuaciones paramétricas son

\displaystyle \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}

\displaystyle \frac{x-2}{6} = -\frac{y+2}{6} = -\frac{z+3}{4}

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \frac{x-2}{6} = -\frac{y+2}{6} = -\frac{z+3}{4}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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